Question

已知函数f(x)=lg(x+√(x^2+1),若（x+根号下x^2+1）（y+根号下y^2+1）=1，求x+y的值

Answer 1

√(x^2+1) + x = 1/ (√(y^2+1) + y) = √(y^2+1) - y
√(x^2+1) - x = 1/ (√(x^2+1) + x) = √(y^2+1) + y
相减得x+y=0

追问

√(x^2+1) + x = 1/ (√(y^2+1) + y) = √(y^2+1) - y
√(x^2+1) - x = 1/ (√(x^2+1) + x) = √(y^2+1) + y
相减得x+y=0 看不懂，请讲清楚些

追答

√(x^2+1) + x = √(y^2+1) - y
也就是√(x^2+1) - √(y^2+1) = -x-y
√(x^2+1) - x = √(y^2+1) + y
也就是√(x^2+1) - √(y^2+1) = x+y
所以x+y=0

追问

1/ (√(y^2+1) + y) = √(y^2+1) - y
这一步是杂变的

追答

(√(y^2+1) + y)(√(y^2+1) - y) = [√(y^2+1)]^2 - y^2 = 1
所以1/ (√(y^2+1) + y) = √(y^2+1) - y

追问

谢谢

追答

顺便帮你解释一下楼下的证明的意思
设h(x) = x+√(x^2+1) 那么f(x) = ln(f(x))
那么h(x)h(y) = 1
取对数可得ln(h(x)) + ln(h(y)) = 0
也就是f(x) + f(y) = 0
而根据f(x)的单调性和f(x)是奇函数的性质可以得到
f(x+y) = 0
也就是x+y=0

追问

f(x) = ln(f(x))
这里看不懂

追答

f(x) = ln(h(x))
笔误

追问

还是不懂
呵呵

追答

晕，你仔细看看2个函数定义啊，追问这么多可是要消耗财富的

追问

真的不会,请在讲清楚些

追答

能看懂我的方法就可以了，他的虽然巧妙，但是证明过程实在太复杂了。

Answer 2

1.函数f(x)=lg[x+√（x^2+1)]有意义
只需x+√(x^2+1）>0
因为x+√(x^2+1）=1/[ √(x^2+1）-x]
又x^2+1>x^2恒成立
故√(x^2+1）>x
从而√(x^2+1）-x>0
故x+√(x^2+1）=1/[ √(x^2+1）-x]>0恒成立
故f(x)的定义域为R.

2.f(x)=lg[x+√(x^2+1)]
f(-x)=lg[-x+√((-x)^2+1)]=lg[-x+√(x^2+1)]
f(x)+f(-x)=lg{[x+√(x^2+1)][-x+√(x^2+1)]}=lg[(x^2+1)-x^2]=lg1=0
所以f(-x)=-f(x)
且f(x)的定义域是R
所以f(x)是奇函数

3.设x1<x2
g(x1)-g(x2)
=[x1+√(x1^2+1)]-[x2+√(x2^2+1)]
=(x1-x2)+[√(x1^2+1)-√(x2^2+1)]
=(x1-x2)+[(x1^2+1)-(x2^2+1)]/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]
=(x1-x2)+(x1-x2)(x1+x2)/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]
=(x1-x2){[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]+(x1+x2)}/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]
=(x1-x2){[√(x1^2+1)+x1]+[√(x2^2+1)+x2]}/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]
因为√(x1^2+1)>√x1^2=|x1|≥-x1，所以√(x1^2+1)+x1>0
同理，√(x2^2+1)+x2>0
所以[√(x1^2+1)+x1]+[√(x2^2+1)+x2]>0
又x1-x2<0，√(x1^2+1)+√(x2^2+1)>0
所以g(x1)-g(x2)<0
g(x1)<g(x2)，所以g(x)在定义域内是增函数
又h(x)=lgx也是增函数
所以复合函数f(x)=h[g(x)]也是增函数
即f(x)=lg[x+√（x^2+1)]为增函数.

4.（x+√(x^2+1))(y+√(y^2+1))=1两边取对数
易知：f(x)+f(y)=0,
即f(x)=-f(y)
因为函数是奇函数，所以f(-y)=-f(y)，
所以f(x)= f(-y)
由上式及单调性知道，x=-y,
所以x+y=0

追问

.（x+√(x^2+1))(y+√(y^2+1))=1两边取对数
易知：f(x)+f(y)=0,
看不懂，麻烦讲清楚些