Question

2的a次方＋2的b次方＝2的（a＋b)次方，2的a次方＋2的b次方＋2的c次方＝2的（a＋b＋c）次方。求c的最大值

Answer 1

设2的a次方 =x 2的b次方=y 2的c次方=z 则x,y,z>0
x+y=xy 则x=xy - y =y(x-1) >0 所以x>1 同理y>1 ,z>1
x+y=xy (1) x+y+z = xyz (2)
得z= xy/（xy-1）=（x+y） /(x+y-1) = 1+ 1 /(x+y-1)
由（1）可画出图形为 x=1,y=1为渐近线的双曲线（右半部分）
求z可先 x+y的最小值 则可作x+y=0 这条直线平移接近双曲线 ，切点即是要 求的点
设 x+y=k 与 x+y=xy 相交，delta = k^2-4k
所求的点，即 相切时delta=0 k=4，-4（舍，因为x,y>0）
则x+y=4 Zmax=4/(4-1) =4/3

Answer 2

我只考虑a,b,c为整数的情况
由题意得
①2^a+2^b=2^(a+b)
②2^a+2^b+2^c=2^(a+b+c)
②-①得
2^c={2^(a+b)}(2^c-1)
∴2^(c-a-b)=2^c-1
当c-a-b∠0时显然不能成立,∴c-a-b≥0
此时必有左边=1或偶数,右边为奇数
∴左边=1=右边
∴c-a-b=0,c=1
∴c=1