Question

已知丨a丨＜1，丨b丨＜1，求证丨1-ab丨＞丨a-b丨

Answer 1

欲证原命题，只需证
(1－ab)^2>(a－b)^2成立
即证1－2ab＋(ab)^2>a^2－2ab＋b^2成立
即证(ab)^2＋1>a^2＋b^2 成立
从而只需证(a^2－1)(b^2－1)>0…（＊）
根据题意，（＊）显然成立，故原命题成立）

Answer 2

平方得
1-2ab + a^2b^2 > a^2 -2ab + b^2
所以相当于证明a^2b^2 - a^2 - b^2 +1 >0
也就是证明(1-a^2) (1-b^2) >0
最后一个式子显然成立，所以丨1-ab丨＞丨a-b丨

Answer 3

证明：∵丨a丨＜1，丨b丨＜1∴a，b∈(-1，1)，ab＜1
分三种情况讨论：
（1）当a=b时，丨1-ab丨-丨a-b丨=1-ab-0=1-ab＞0得丨1-ab丨＞丨a-b丨
(2)当-1＜a＜b＜1时，丨1-ab丨-丨a-b丨=1-ab-（b-a)=(1-b)(1+a)＞0得丨1-ab丨＞丨a-b丨

(3）当-1＜b＜a＜1时，丨1-ab丨-丨a-b丨=1-ab-（a-b)=(1-a)(1+b)＞0得丨1-ab丨＞丨a-b丨

综上证得丨1-ab丨＞丨a-b丨