Question

arctanx的导数是什么？

Answer 1

• 01

  1/1+x²

  arctanx的导数是1/1+x²，设y=arctanx,则x=tany，因为arctanx′=1／tany′，且tany′=(siny/cosy)′=cosycosy-siny(-siny)/cos²y=1/cos²y，则arctanx′=cos²y=cos²y/sin²y+cos²y=1/1+tan²y=1/1+x²。

  arctanx（即Arctangent）指反正切函数。反函数与原函数关于y=x的对称点的导数互为倒数。设原函数为y=f(x)，则其反函数在y点的导数与f'(x)互为倒数（即原函数，前提要f'(x)存在且不为0）。

  反正切函数arctanx的导数

  (arctanx)'=1/(1+x^2)

  函数y=tanx,（x不等于kπ+π/2,k∈Z）的反函数，记作x=arctany，叫做反正切函数。其值域为（-π/2,π/2）。反正切函数是反三角函数的一种。

  反正切函数arctanx的求导过程

  设y=arctanx

  则x=tany

  因为arctanx′=1／tany′

  且tany′=(siny/cosy)′=cosycosy-siny(-siny)/cos²y=1/cos²y

  则arctanx′=cos²y=cos²y/sin²y+cos²y=1/1+tan²y=1/1+x²。

  所以arctanx的导数是1/1+x²。

  其他常用公式

  (arcsinx)'=1/√(1-x^2)

  (arccosx)'=-1/√(1-x^2)(arctanx)'=1/(1+x^2)(arccotx)'=-1/(1+x^2)