Question

设函数f(x)=lnx+ln(2-x)-ax(a大于0)。(1)当a=1，求f(x)单调区间；(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为1/2，求a值

Answer 1

设函数f(x)＝lnx＋ln(2-x)＋ax(a＞0) (1)当a＝1时
f(x)＝lnx＋ln(2-x)＋x
＝ln[x(2-x)]＋x
f'(x)＝(2-2x)/x(2-x)＋1
令f'(x)＞0，得
(2-2x²)/x(2-x)＞0
即2(1-x)(1+x)(2-x)＞0
解得x∈(-1,1)U(2,+∞)
∴f(x)于(-1,1)，(2,+∞)↑于(-∞,-1)，(1,2)↓
(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为1/2
∵f(x)＝lnx＋ln(2-x)＋ax(a＞0)
∴f'(x)＝(2-2x)/x(2-x)＋a
令f'(x)＞0，得
[-ax²+(2a-2)x+2]/x(2-x)＞0
当x∈(0,1]时，x(2-x)＞0恒成立
∴-ax²+(2a-2)x+2＞0，x∈(0,1]
a＞0时，设g(x)＝-ax²+(2a-2)x+2
则g(0)≥0，g(1)≥0
即2≥0，a≥0成立
∴f(x)于(0,1]↑
∴f(x)max＝f(1)＝1/2
即ln1＋ln(2-1)＋a＝1/2
即a＝1/2

追问

是减ax

Answer 2

解：
f(x)=lnx+ln(2-x)+ax
=lnx(2-x)+ax
=ln[1+(2x-x^2-1)]+ax
=ln[1-(x-1)^2]+ax
显然，f(x)在定义域内为增函数
所以，当x=1时，f(x)取最大值1/2
所以 f(x)=ln1+ln(2-1)+a =1/2
a=1/2

Answer 3

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Answer 4

- -、楼上误人子弟啊，很明显x的定义域是（0，2），楼上疏忽了

Answer 5

(0.2】增
【根号2.2）减
f（1）处取最小