Question

设函数f（x）=lnx+ln（2-x）+ax（a＞0）．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间．（2）若f（x）在（0，1]上

设函数f（x）=lnx+ln（2-x）+ax（a＞0）．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间．（2）若f（x）在（0，1]上的最大值为 1 2 ，求a的值．

Answer 1

对函数求导得： f′(x)= 1 x - 1 2-x +a ，定义域为（0，2） （1）当a=1时，f′（x）= 1 x - 1 2-x +1， 当f′（x）＞0，即0＜x＜ 2 时，f（x）为增函数；当f′（x）＜0， 2 ＜x＜2时，f（x）为减函数． 所以f（x）的单调增区间为（0， 2 ），单调减区间为（ 2 ，2） （2）函数f（x）=lnx+ln（2-x）+ax（a＞0）． ， f′(x)= 1 x - 1 2-x +a ＞0，所以函数为单调增函数，（0，1]为单调递增区间． 最大值在右端点取到． f max =f(1)=a= 1 2 所以a= 1 2 ．