Question

cosx~1-x的平方/2!+x的四次方/4!+(x的四次方)的高阶无穷小 这个是怎么来的 还有ln（1+x） 还有e的x次方

Answer 1

这几个式子都是用麦克劳林公式推导出来的

麦克劳林公式 是泰勒公式（在x0=0下）的一种特殊形式。
　　若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和：
　　f(x)=f(0)+f'(0)x+x^2 * f''(0)/2! +x^3 * f'''(0)/3!+……+x^n * f(n)(0)/n!+Rn
其中Rn是公式的余项，即高阶无穷小，如佩亚诺(Peano)余项Rn(x) = o(x^n)等表示方法，
而f(n)(0)则表示f(x)的n阶导数在x=0时的取值，

通过这个式子很容易得到
当f(x)=cosx时，其n阶导数为cos(x+π*n/2)
如题当n取到4次时，
f(x)=cos0 + cos(π/2) * x + cos(π) * x^2 /2!+cos(3π/2) * x^3 /3!+cos(2π) * x^4 /4!+Rn
显然cos(π/2)=cos(3π/2)=0，而cos0=cos(2π)=1，cos(π)= -1，
代入即可以得到f(x)=1- x^2 /2! + x^4 /4!+Rn，
于是得到了证明。

同理可以用这种方法得到
ln（1+x）~x - x^2/2 +x^3/3 -x^4/4+……+(-1)^n* x^n /n +Rn
e^x~1+ x +x^2/2!+……x^n/n! +Rn