Question

高一奥数题

求使这样的集合族存在的最大正整数n.
已知一族集合A1,A2……An具有性质：1.每个Ai含有30个元素；2.对每一对i,j:1≤i＜j≤n,Ai∩Aj都是单元集；3.A1∩A2∩……∩An=空集
求使这样的集合族存在的最大正整数n.
答案：871 求详细解答。

Answer 1

1.每个Ai含有30个元素；2.对每一对i,j:1≤i＜j≤n,Ai∩Aj都是单元集；3.A1∩A2∩……∩An=空集
由3个性质可得出具有某个相同元素的集合最多只有30个（用反证法可证）
在这30个集合中除这个相同元素，每个集合还有29个元素它们互不相同，由性质2可知，其他集合内的30个元素是分别从这30个集合中除相同元素外的29个元素中各取一个组成，共29^30个
存在的最大正整数n=30+29^30
（答案：871有问题，错了吧）

追问

谢谢先生！
但我不理解怎样证明“其他集合”中任意一个集合与另外的（29*30+30）﹣2 个集合具有相同元素，您能解释一下吗？

追答

哦，上面解答后面有点问题
30个集合中除相同元素外的29个元素中各取一个，具有某个相同元素的集合最多只有30个，即取得的每集合中的某元素构成的新集合最多只有29个，即29*29个集合
存在的最大正整数n=30+29*29=871
呵呵，答案是对的，我错了

Answer 2

设A1∩A2=a（1，2）
A1∩A3=a（1，,3）
……
An-1∩An=a（n-1，n）
当a（1，2），a（1，3），a（1，4）……a（n-1，n）有不同单元集

因为Ai含有30个元素 所以总共可以组成有31个不同单元集
n此时最大
n最大=30+1=31