Question

ln(1+x)的原函数是什么？

Answer 1

ln(1+x)原函数是x*ln(1+x)-x+ln|1+x|+C

解：令f(x)=ln(1+x)，F(x)为f(x)的原函数

那么F(x)=∫f(x)dx=∫ln(1+x)dx

=x*ln(1+x)-∫xdln(1+x)

=x*ln(1+x)-∫x/(1+x)dx

=x*ln(1+x)-∫(x+1-1)/(1+x)dx

=x*ln(1+x)-x+ln|1+x|+C

即ln(1+x)原函数是x*ln(1+x)-x+ln|1+x|+C

原函数存在定理

若函数f(x)在某区间上连续，则f(x)在该区间内必存在原函数，这是一个充分而不必要条件，也称为原函数存在定理。

函数族F(x)+C(C为任一个常数）中的任一个函数一定是f(x)的原函数，故若函数f(x)有原函数，那么其原函数为无穷多个。

例如：x3是3x2的一个原函数，易知，x3+1和x3+2也都是3x2的原函数。因此，一个函数如果有一个原函数，就有许许多多原函数，原函数概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的。