Question

已知函数f（x）=x2+a|x-1|，a为常数．

Answer 1

解题思路：（1）去掉绝对值符号，化为分段函数，配方利用二次函数求最值；
（2）去掉绝对值符号，化为分段函数，配方利用二次函数的单调性，使函数在两段上都递增，且x≥1时的最小值大于x≤1时的最大值．

（1）当a=2时，f(x)＝x2+2|x−1|＝

x2+2x−2，x≥1
x2−2x+2，x＜1=

(x+1)2−3，x≥1
(x−1)2+1，x＜1
所以当x∈[1，2]时，[f（x）]max=6，[f（x）]min=1
当x∈[0，1]时，[f（x）]max=2，[f（x）]min=1
所以f（x）在[0，2]上的最大值为6，最小值为1．
（2）因为f(x)＝

x2+ax−a，x≥1
x2−ax+a，x＜1=

(x+
a
2)2−
a2
4−a，x≥1
(x−
a
2)2−
a2
4+a，x＜1
而f（x）在[0，+∞）上单调递增
所以当x≥1时，f（x）必单调递增，得−
a
2≤1即a≥-2
当0≤x＜1时，f（x）亦必单调递增，得
a
2≤0即a≤0
且11+a-a≥11-a+a恒成立，
故所求实数a的取值范围为[-2，0]．

点评：
本题考点： 函数的最值及其几何意义；函数单调性的性质．

考点点评： 本题主要考查函数的性质，特别是二次函数的单调性与求最值的方法，研究分段函数时要两段上统筹兼顾，属于中档题．