Question

函数f（x）=ax+1/x+2 ,(a为常数）。

①若a=1,证明：f(x)在（-2，+∞）上为单调递增函数。
②若a＜0，且当x∈（-1，2）时，f(x)的值域为（-3/4, 3）,求a的值。

Answer 1

f(x)=ax+1/x+2？
应该是f(x)=(ax+1)/(x+2)吧？

解1：
f(x)=(ax+1)/(x+2)
有：x≠-2
当a=1时，有：
f(x)=(x+1)/(x+2)
f'(x)=[(x+2)-(x+1)]/(x+2)²
f'(x)=1/(x+2)²
可见，恒有：f'(x)＞0
f(x)的单调增区间是
x∈(-∞，-2)∪(-2，∞)。
即：f(x)在(-2，∞)上是单调增函数。
证毕。

解2：
f(x)=(ax+1)/(x+2)
有：x≠-2
f'(x)=[a(x+2)-(ax+1)]/(x+2)²
f'(x)=(2a-1)/(x+2)²
因为：a＜0，所以，恒有：f'(x)＜0
即：f(x)在(-∞，-2)∪(-2，∞)上是单调减函数。
已知：x∈(-1，2)，
在此区间内，f(x)的最小值是：f(2)=(2a+1)/(2+2)=(2a+1)/4
在此区间内，f(x)的最大值是：f(-1)=(-a+1)/(-+2)=1-a
已知，此时f(x)∈(-3/4，3)
由已知，有：1-a=3，解得：a=-2

追问

f'(x)=[(x+2)-(x+1)]/(x+2)² 为什么分号上面是（x+2）- (x+1)下面是（x+2）²

追答

导数法则：
若：f(x)=u(x)/v(x)
则：f'(x)=[u'(x)v(x)-u(x)v'(x)]/v(x)²

追问

不好意思昨天晚上他比你先回答我，分已经给他了。

追答

没关系。
你在这里提问，目的是为了得到你心目中的最佳答案。
现在，这个目的达到了，恭喜楼主。

Answer 2

（1）当a=1时，f(x)=x+1/x+2
设-2＜x1＜x2，∴f(x1)-f(x2)=x1-x2/(x1+2)(x2+2)
∵-2＜x1＜x2，x1＜x2∴（x1+2)(x2+2)＞0，x1-x2＜0
即f(x1)-f(x2)<0
∴a=1时，f(x)在(-2,+∞)上为单调递增函数
（2）f(x)=a+(1-2a)/(x+2)
则f在（-1,2)上单调
当1-2a<0即a>1/2时，f单调增
则f(-1)=-3/4,f(2)=3
1-a=-3/4,(2a+1)/4=3无解
当1-2a>0即a<1/2时，f单调减
则f(-1)=3,f(2)=-3/4
解得a=-2
如果您认可我的回答，请选为满意答案，并点击好评，谢谢！

追问

设-2＜x1＜x2 中间的x1是什么一个代数吗？相当与未知数x？

追答

在高一会学一个定义法
x1＜x2
这是表示在定义域内任取两个数x1,x2,且x1f(x2)
就是减函数
如果是高二生，就可以上边的导数做法f'(x)

追问

你在线吗？

追答

?

追问

我提高悬赏，你在回答我一个问题吧，可以吗？

追答

能不能先选为满意答案
然后http://zhidao.baidu.com/new?fix=fish6669696
求助我，悬赏没啥意义
在不？我要睡觉了，有问题明天回复

追问

百度TMD不让我提交老是您的提交频率过高。。。

追答

算了，你在这发吧

追问

算了明天发吧，这里字数有限。。。汗

追答

那请选为满意答案，然后明天http://zhidao.baidu.com/new?fix=fish6669696即可