Question

在锐角三角形ABC中，证明tanA*tanB*tanC＞1

Answer 1

证明：已知三角形ABC是锐角三角形，为了不失一般性不妨令0<C≤B≤A<π/2
则，可以得到A至少不小于π/3，即A≥π/3，否则如果A<π/3,则，B,C中必定会出现大于A的情况，这就与所令矛盾了
根据三角形内角和为π
则tanA+tanB+tanC=tanA*tanB*tanC
(这个结论可以用两角和的正切展开式再根据tanπ=0,得到)
设三个角A,B,C分别对应边a,b,c
根据余弦定理cosA=(b²+c²-a²)/(2bc*cosA),cosB,cosC同理可得到
根据正弦定理的面积表达，三角形ABC的面积S=(1/2)absinC=(1/2)acsinB
=(1/2)bcsinA
则tanA*tanB*tanC=tanA+tanB+tanC
=sinA/cosA+sinB/cosB+sinC/cosC
=2bcsinA/(b²+c²-a²)+2acsinB/(a²+c²-b²)+2absinC/(a²+b²-c²)
=4s[1/(b²+c²-a²)+1/(a²+c²-b²)+1/(a²+b²-c²)]
取b²+c²-a²,a²+c²-b²,a²+b²-c²的最大者，不妨设b²+c²-a²最大
b²+c²-a²=2bccosA=2bc√[1-(sinA)²]=√[b²c²-4S²]
根据前面所得结论A≥π/3
2S=bcsinA bc=2S/sinA≤4S/√3
这样b²+c²-a²=√[b²c²-4S²]≤2S/√3
故tanA*tanB*tanC
=4s[1/(b²+c²-a²)+1/(a²+c²-b²)+1/(a²+b²-c²)]
≥12S[1/(b²+c²-a²)]
≥12S(√3/4S)
=3√3>1
所以tanA*tanB*tanC>1

Answer 2

在锐角三角形ABC中，tanA,tanB,tanC>0,
∴tanA*tanB*tanC=tanA+tanB+tanC>=3(tanA*tanB*tanC)^(1/3),
∴（tanA*tanB*tanC）^（2/3）>=3,
∴tanA*tanB*tanC>=3^(3/2)=3√3>1.

Answer 3

在锐角三角形ABC中,A+B>π/2,所以π/2>A>π/2-B>0,因为正弦函数在(0,π/2)上递增,所以
sinA>sin(π/2-B)=cosB,同理: sinB>cosC, sinC>cosA ,三式相乘得:
sinAsinBsinC>cosBcosCcosA
所以tanA*tanB*tanC＞1

Answer 4

虽然"精选解答"够专业，但……这里是我的解答
首先，证tanA*tanB*tanc=tanA+tanB+tanC,这点没错，
之后，锐角三角形中必有一角A>=π/3，
则tanA>√(3)，
又tanB与tanC皆>0,
所以tanA+tanB+tanC>√(3)>1，
即tanA*tanB*tanc=tanA+tanB+tanC>1得证

Answer 5

锐角三角形至少有一个角是大于45的。设为A…tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC>tanA>1