Question

已知函数f(X)=X的3次方+ax+b(a,b属于R)且集合A={X|X=f(X)},B={X|X=f[f(X)]}

已知函数f(X)=X的3次方+ax+b(a,b属于R)且集合A={X|X=f(X)},B={X|X=f[f(X)]} (1)求A含于B (2)当A={-1，3}时，用列举法表示B。
高一数学！

Answer 1

A: 即为f(x)=x的根。
B: 即为f(f(x))=x的根。
若a为A的元素，则有f(a)=a,此时，f(f(a))=f(a)=a, 因此a也是B中的元素。所以A中的元素都是B中的元素，即A含于B。

2）A={-1, 3}
f(-1)=-1=-1-a+b---> a=b
f(3)=3=27+3a+b--->3a+b=-24
解得：a=b=-6
f(x)=x^3-6x-6 ， f(x)=x 还有另一个根-2.
B: f(f(x))=f(x)^3-6f(x)-6=x 至少有3个根-1，3， -2.
f(x)^3-xf(x)^2+xf(x)^2-x^2f(x)+x^2f(x)-x^3-6f(x)+6x+x^3-7x-6=0
[f(x)-x][f(x)^2+xf(x)+x^2-5]=0，所以有：
f(x)-x=0即为上面3个根-1，3，-2
f(x)^2+xf(x)+x^2-5=0-->
x^6-12x^4-12x^3+36x^2+72x+36+x^4-6x^2-6x+x^2-5=0
x^6-11x^4-12x^3+31x^2+66x+31=0
此方程有两个实根：X1=-1.72934224991135，X2=-0.795760004902966
因此B={-1,3,-2, x1,x2}

Answer 2

？ 求A含于B ？求证？