Question

如何证明一个矩阵是可逆矩阵?

Answer 1

证明一个矩阵可逆的方法有5种；（1）看这个矩阵的行列式值是否为0，若不为0，则可逆；（2）看这个矩阵的秩是否为n，若为n，则矩阵可逆；（3）定义法：若存在一个矩阵B，使矩阵A使得AB=BA=E，则矩阵A可逆，且B是A的逆矩阵；（4）对于齐次线性方程AX=0，若方程只有零解，那么这个矩阵可逆，反之若有无穷解则矩阵不可逆；（5）对于非齐次线性方程AX=b，若方程只有特解，那么这个矩阵可逆,反之若有无穷解则矩阵不可逆。扩展资料：可逆矩阵的性质：（λA）^(-1)=λ^(-1)A^(-1) λA是矩阵，（λA）^(-1)是λA的逆矩阵 λ^(-1)是一个数，λ的倒数，1/λ A^(-1)是矩阵，A的逆 λ^(-1)A^(-1)是数1/λ乘矩阵A^(-1)。
证明矩阵可逆的方法有如下：1、若是矩阵的秩小于n，那么这个矩阵不可逆，反之就是可逆矩阵。2、若是矩阵行列式的值为0，那么这个矩阵不可逆，反之则为可逆。3、对于齐次线性方程AX=0，若方程只有零解，那么这个矩阵可逆。4、对于非齐次线性方程AX=b，若方程有特解，那么这个矩阵可逆。扩展资料：可逆矩阵的性质如下：①若可逆，则和也可逆，且，；②若可逆，则可逆，且；③，均可逆。
N阶方阵A为可逆的，重要条件是它的行列式不等于0，一般只要看它的行列式就可以啦。 矩阵可逆=矩阵非奇异=矩阵对应的行列式不为0=满秩=行列向量线性无关。 行列式不为0，首先这个条件显然是必要的。其次当行列式不为0的时候，可以直接构造出逆矩阵，于是充分。 具体构造方法每本书上都有，大体上是用行列式按行列展开定理，即对矩阵A，元素写为a_ij，则sigma(j)a_ij*M_kj=detA*delta_ik，其中M_ij为代数余子式，于是B_ij=M_ji/detA即为A的逆矩阵。 在线性代数中，给定一个 阶 方阵 ，若存在一 阶方阵使得 = = 或 = 、 = 任满足一个，其中 为 阶单位矩阵，则称 是可逆的，且 是 的逆阵，记作 ^-1。
谈到可逆矩阵，大家都再熟悉不过了，这是考试中经常遇到的一类题目。

可逆矩阵：设存在一个n阶矩阵A，有另一个n阶矩阵B，使得这两个矩阵的乘积为单位矩阵，则说明矩阵A为可逆矩阵，而矩阵B则是矩阵A的逆矩阵。

我们一般有三种方法来判断是否为可逆矩阵：

1、证明矩阵A的行列式不等于0，可以得到所有特征值都不为零。

2、验证矩阵A和矩阵B的乘积为单位矩阵E。

3、证明A的行向量和列向量线性无关。

如图所示，这道题目就是关系到行向量与列向量的时候了，而且对于这道题而言，最好的方法便是判断特征值，若要不可逆，只要证明其中有特征值为零即可。

每次当我们拿到题目的时候，我们都要分析一下题目给出的条件，再来做题。

正如图中所说的那样，a是n维单位列向量，那就可以得到a的所有元素平方和为1。

E是n阶单位矩阵，所以得到特征值为1。

再将选项中的式子一个一个带进去试就可以了，最后败能够得到结果。