Question

跪求高数大神 抛物面z=x^2+y^2被平面x+y++z=1截成一个椭圆，求该椭圆的长半轴和短半轴（用拉格朗日乘子）

Answer 1

长半轴为√(3(2+√3))，短半轴是√(3(2-√3))，用拉格朗日乘数法做的。

^【解析】z=x^2+y^2

x+y+z=1

椭圆方程为(x+1/2)^2+(y+1/2)^2=3/2

z=1-x-y

原点到这椭圆上点的距离r=根号{x^2+y^2+z^2}

极值点坐标满足dr/dx=0

dr/dx=[2x+2y*dy/dx+2z*dz/dx]/2r

=x+y*dy/dx+(1-x-y)*(-1-dy/dx)

=(2x+y-1)+(x+2y-1)*dy/dx

对椭圆方程求导2*(x+1/2)+2*(y+1/2)*dy/dx=0

dy/dx=-(2x+1)/(2y+1)

dr/dx=(2x+y-1)-(x+2y-1)*(2x+1)/(2y+1)

=(2x+2y-3)*(y-x)/(2y+1)

dr/dx=0, => (2x+2y-3)*(y-x)=0

x=y=+(-)根号3/2-1/2 ; x+y=3/2>1（舍去）

r=根号{x^2+y^2+z^2}=根号{2x^2+4y^2}=根号{(11+(-)6*根号3)/2}

r(min)=根号{(11-6*根号3)/2}

r(max)=根号{(11+6*根号3)/2}

扩展资料：

令F(x,y,λ)对x和y和λ的一阶偏导数等于零，即

F'x=ƒ'x(x,y)+λφ'x(x,y)=0 [1] 

F'y=ƒ'y(x,y)+λφ'y(x,y)=0

F'λ=φ(x,y)=0

由上述方程组解出x,y及λ，如此求得的(x,y)，就是函数z=ƒ(x,y)在附加条件φ(x,y)=0下的可能极值点。

若这样的点只有一个，由实际问题可直接确定此即所求的点。

参考资料来源：百度百科-拉格朗日乘数法