Question

罗尔中值定理的范例解析

Answer 1

结论得证。若连续曲线y=f(x)在区间[a,b]上所对应的弧段AB，除端点外处处具有不垂直x轴的切线，且在弧的两个端点A、B处的纵坐标相等，则在弧AB上至少有一点C，使曲线在C点处的切线平行于x轴。

范例解析

用罗尔中值定理证明：方程3ax²+2bx-（a+b）=0在（0，1）内有实根。

证明： 设F（x）=ax³+bx²-（a+b）x则F(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，所以由罗尔中值定理，至少存在一点

使得

所以

所以ξ是方程3ax²+bx²-（a+b）=0在（0，1）内的一个实根。

扩展资料

证明：因为函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，所以存在最大值与最小值，分别用M和m表示，分两种情况讨论：

1、若M=m，则函数 f(x) 在闭区间[a，b]上必为常函数，结论显然成立。

2、若M>m，则因为f(a)=f(b)使得最大值M与最小值m至少有一个在(a,b)内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件f(x)在开区间(a，b)内可导得，f(x)在ξ处取得极值，由费马引理推知：f'(ξ)=0。

另证：若M>m ，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可导条件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，又由极限存在定理知左右极限均为0，得证。