Question

已知关于x的方程ax^+bx+c=0,bx^+cx+a=0,cx^+ax+b=0有1个相等的实数根，且abc≠0,求a+b+c的值

有人说，答案是0，也有的说，答案是－3，求高手解答。

Answer 1

答案是：0
详解如下：令：ax^+bx+c=0 …… 1式
bx^+cx+a=0 …… 2式
cx^+ax+b=0 …… 3式
三方程均有1个相等的实数根X1=X2。
将以上3式左右相加，便得：
（a+b+c）x^ + （a+b+c)x +（a+b+c）=0 …… 4式
且根据已知条件，此方程有相等的实数根即为上述三个方程的跟X1、X2，
根据4式的求跟方程式可得：（a+b+c)^ - 4(a+b+c)^ =0（即求根公式中的B^-4AC）
若想此式成立，只有：a+b+c=0
得证！
至于：一楼中提到的方程有一个跟=1是正确的，仔细观察三个方程，若想有一个共同的的跟且成立，只能是X=1! 不过这样似乎少了些理论依据，但若是填空题或是选择题，建议你采用一楼的方法！若是证明题，建议你还是一步步的证明吧！

Answer 2

解：∵关于x的方程ax²+bx+c=0,bx²+cx+a=0,cx²+ax+b=0有1个相等的实数根为x=1
∴代入得a+b+c=0

追问

为什么x=1

追答

或则这样解：ax^+bx+c=0①,bx^+cx+a=0②,cx^+ax+b=0③
①+②+③得（a+b+C)x2+(a+b+c)x+(a+b+c)=0
(a+b+c)(x2+x+1)=0
而x2+x+1=(x+1/2)2+3/4≠0
得a+b+c=0
而a+b+c=0时.x=1都是以上三个关于x的方程的共同解。

Answer 3

解：根据题意，把3个方程相加，所得式子应该也成立
即（ax^2+bx+c）+（bx^2+cx+a）+（cx^2+ax+b）=0
整理的（a+b+c）（x^2+x+1)=0
因为x^2+x+1≠0
所以a+b+c=0