Question

已知函数f（x）=x²-2ax+5（a＞1）．

已知函数f（x）=x²-2ax+5（a＞1）．
（1）若f（x）的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；
（2）若f（x）在[-∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）-f（x2）|≤4，求实数a的取值范围．

Answer 1

(1)f(x)图形为抛物线，且对称轴为x=a，则(-∞,a]区间为单调递减
定义域为[1,a]时，x=1对应最大值f(1)=1-2a+5=6-2a
x=a对应最小值f(a)=a²-2a²+5=5-a²
由题意值域也是[1,a]
则5-a²=1且6-2a=a
则解得a=2
(2)f(x)在给定区间为减函数，结合(1)可知a≥2
在区间[1,a+1]内，x=a时取得最小值
若a≥2，则a-1≥1则x=1距离x=a更远，则[1,a+1]区间内最大值为x=1时取得
则|f（x1）-f（x2）|≤f(1)-f(a)
只要f(1)-f(a)≤4可保证任意x1,x2均使|f（x1）-f（x2）|≤4成立
f(1)=6-2a, f(a)=5-a²
则要求(6-2a)-(5-a²)≤4
解得-1≤a≤3
又a≥2
则a的范围是:2≤a≤3

Answer 2

（1）f(0)=5,且对称轴是X=a，定义域[1，a]说明函数在[1，a]区域单调递减。
定义域和值域均是[1，a]且单调递减说明f（1）=a，f(a)=1.求得a=2.

Answer 3

已知函数f(x)=x²-2ax+5（a＞1）．
1）若f(x)的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；
2）若f(x)在[-∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f(x1)-f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．

问题一：
1）若f(x)的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；
解：
∵ 函数f(x)=x²-2ax+5 (a＞1)
∴ 函数f(x)的对称轴x=-(-2a)/2=a；画出f(x)的图像，可知道：
f(x)在x∈[1，a]为减函数

Answer 4

(1) a=2
(2)给的条件是否表达有误？

Answer 5

1