Question

已知f(x)=|x|/(x+2)，如果关于x的方程f(x)=kx^3有三个不同的实数解。求实数k的取值范围。

我把图做出来是这个样子，白色的点是不可取的地方。
照图来看，只能有两个实数根撒

Answer 1

x=0显然为一个解。
x>0, f(x)=x/(x+2)=kx^3--> kx^2(x+2)=1
x<0, f(x)=-x/(x+2)=kx^3--> kx^2(x+2)=-1
k=0显然没其它解了。
令y=kx^3+2kx^2
y'=3kx^2+4kx=kx(3x+4)
k>0时， x>0 or x<-3/4时y单调增，y(0)=0, 因此y=1有且仅有1个正根。
此时y=-1须有另一实根。y(-3/4)=k*45/64>0, 因此y=-1只有一负根，它小于-2.
k<0时， x>0 or x<-3/4时y单调减，y(0)=0,因此y=1没有正根
此时y=-1须有两实根。y(-3/4)=k*45/64<0, 因此y=-1有一负根，它小于-2.
-3/4<x<0时单调增，y(0)=0,因此y=-1在（-3/4, 0)没实根。
综合上述，得K的取值范围是：k>0.

追问

你好，我的答案上是这样写的：
当x=0时，f(x)=kx^3，x=0为方程的解
当x>0时，x/(x+2)=kx^3，∴kx^2(x+2)=1，∴x^2(x+2)=1/k
当x0)
-x^3-2x^2(x0

答案怎么确定这个函数中的x就有三个实根的？什么原理？

追答

图上的两个交点，再加上X=0的根呀，共有3个根。

追问

k>0中意思是那个图像的交点算作x的两个实根，再加上x=0吧
那k<-27/32是什么意思啊

追答

得到的只是k>0呀。

追问

答案上有写k<-27/32。帮我分析一下啥意思吧。或者是答案错了

追答

哦，我上面有点错误，你的答案是对的，应该这样：
k>0时， x>0 or x0, 因此y=-1只有一负根，它小于-2.
k0 or x0. 或k <-27/32