Question

已知函数f(x)=lnx,g(x)=x (1)讨论函数f(x)/g(x)的单调性并求最大值（2）若x>1求f(x)>2g(x-1/x+1)

Answer 1

解：（1）令h(x)=f(x)/g(x)=(lnx)/x,(x>0)
h'(x)=(1-lnx)/x²
当x>e时，h'(x)<0,h(x)在(e,+∞)单调递减；
当x<=e时，h'(x)>=o,h(x)在(0,e)上单调递增
所以，f(x)/g(x)在(0,e)上单调递增；
f(x)/g(x)在(e,+∞)上单调递减；
当x=e时，取得最大值为1/e
（2）令m(x)=f(x)-2g(x-1/x+1)=lnx-2(x-1)/(x+1)
m'(x)=1/x-4/(x+1)²
令m'(x)>=0,即1/x-4/(x+1)²>=0,
解得：x>0
所以，m(x)在[1，+∞）上单调递增
m(1)=0,所以在（1，+∞）上恒有m(x)>0
所以f(x)>2g(x-1/x+1)的解集为：(1,+∞)