Question

一道关于一元函数导数的问题

把y看作自变量 ， x 为因变量 ，变换方程求证
{(dy/dx) * [(dy)^3/d(x^3)]} - 3 {[(dy)^2/d(x^2)] ^2} = x

答案中说 dy/dx = (dx/dy) ^-1
再由 复合函数求导法和反函数求导法做：

(dy)^2/d(x^2) = d/dx[(dx/dy)]^-1
第一个：这一步就不明白 这为什么是 复合函数？？
= (d/dy)* [(d/dx)^(-1)] * (dy/dx)
第二个地方：不明白这是怎么算的？？
= - [（dx/dy）^(-2)] * [（dx）^2/d(y^2)] *[ (dx/dy) ^(-1)]
= - (dx/dy)^(-3) *[(dx)^2/d(y^2)]

完全看不懂，能不能请好心人给解答一下
many thx!~

Answer 1

第一个疑问：
这一步中，如果设(dx/dy)^(-1)=u的话，
这里的y处于自变量的位置，所以u是一个关于y的函数，
d/dx[(dx/dy)^(-1)]=du/dx
所以这个式子最终的自变量还是x
又因为y是关于x的函数
所以u是一个关于x的复合函数
所以d²y/dx²=d/dx[(dx/dy)^(-1)]=du/dx=(du/dy)(dy/dx)

第二个疑问：
这一步中，如果设dx/dy=t的话
(d/dy)[(dx/dy)^(-1)](dy/dx)
={d[t^(-1)]/dy}(dy/dx)
=[t^(-1)]'(dy/dx)
=-t^(-2)t'(dy/dx) 因为在t中，是将y视为自变量的，所以t'是t对y的导数
=-[(dx/dy)^(-2)](d²x/dy²)(dy/dx)
=-[(dx/dy)^(-2)][d²x/dy²)(dx/dy)^(-1)

Answer 2

(你有几个地方打错了。)
d/dx[(dx/dy)]^-1= (d/dy)* [(dx/dy)^(-1)] * (dy/dx)：
把[(dx/dy)]^-1看作u，左边=du/dx。把y看作中间变量，则按照复合函数的求导法则，du/dx=du/dy*dy/dx。把u回代，就是式子右边了。

(d/dy)* [(dx/dy)^(-1)] * (dy/dx)= - [（dx/dy）^(-2)] * [（dx）^2/d(y^2)] *[ (dx/dy) ^(-1)]：
实际上是(d/dy)* [(dx/dy)^(-1)] =- [（dx/dy）^(-2)] * [（dx）^2/d(y^2)]
左边这一串[(dx/dy)^(-1)] 对y求导，同样把dx/dy看作v，就是1/v对y求导，当然=-v^(-2)*v'(v对y求导)。-v^(-2)就是- [（dx/dy）^(-2)] ，dv/dy就是d(dx/dy)/dy=[（dx）^2/d(y^2)] 。

追问

没打错，不过还是很感谢