矩阵A={2 1 0 1 3 1 0 1 2},求A的特征值和特征向量
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求特征值的方法就是
行列式方程|A-λE|=0
在这里即为
2-λ 1 0
1 3-λ 1
0 1 2-λ r3-r1
=
2-λ 1 0
1 3-λ 1
λ-2 0 2-λ c1+c3
=
2-λ 1 0
2 3-λ 1
0 0 2-λ 按照第三行展开
=(2-λ)(λ-5λ+4)=(2-λ)(λ-1)(λ-4)=0，解得λ=1，2，4
λ=1时，A-E=
1 1 0
1 2 1
0 1 1 r2-r1,r2-r3,r1-r3
~
1 0 -1
0 1 1
0 0 0，得到特征向量(1,-1,1)^T
λ=2时，A-2E=
0 1 0
1 1 1
0 1 0 r2-r1,r3-r1,交换r1和r2
~
1 0 1
0 1 0
0 0 0，得到特征向量(-1,0,1)^T
λ=4时，A-E=
-2 1 0
1 -1 1
0 1 -2 r1+2r2，r2+r3
~
0 -1 2
1 0 -1
0 1 -2 r1+r3，交换行次序
~
1 0 -1
0 1 -2
0 0 0
得到特征向量(1,2,1)^T
行列式方程|A-λE|=0
在这里即为
2-λ 1 0
1 3-λ 1
0 1 2-λ r3-r1
=
2-λ 1 0
1 3-λ 1
λ-2 0 2-λ c1+c3
=
2-λ 1 0
2 3-λ 1
0 0 2-λ 按照第三行展开
=(2-λ)(λ-5λ+4)=(2-λ)(λ-1)(λ-4)=0，解得λ=1，2，4
λ=1时，A-E=
1 1 0
1 2 1
0 1 1 r2-r1,r2-r3,r1-r3
~
1 0 -1
0 1 1
0 0 0，得到特征向量(1,-1,1)^T
λ=2时，A-2E=
0 1 0
1 1 1
0 1 0 r2-r1,r3-r1,交换r1和r2
~
1 0 1
0 1 0
0 0 0，得到特征向量(-1,0,1)^T
λ=4时，A-E=
-2 1 0
1 -1 1
0 1 -2 r1+2r2，r2+r3
~
0 -1 2
1 0 -1
0 1 -2 r1+r3，交换行次序
~
1 0 -1
0 1 -2
0 0 0
得到特征向量(1,2,1)^T
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