Question

作业:求下列微分方程的通解(dy)/(dx)=e^(y/x)+y/x (2)x(dy)/(dx)+？

Answer 1

解:微分方程为dy/dx=e^(y/x)+y/x，设y/x=v，微分方程化为(vx)'=eᵛ+v，v'x+v=eᵛ+v，v'x=eᵛ，dv/eᵛ=dx/x，-1/eᵛ=ln|x|-ln|c|(c为任意非零常数)，1=eᵛln(c/x)，微分方程的通解为1=e^(y/x)×ln(c/x)
微分方程为xdy/dx+2y=lnx，化为xy'+2y=lnx，x²y'+2xy=xlnx，(x²y)'=xlnx，x²y=0.5x²lnx-0.25x²+c(c为任意常数)，微分方程的通解为y=0.5lnx-0.25+c/x²
请参考

Answer 2

解:微分方程为dy/dx=e^(y/x)+y/x，设y=ux，微分方程化为(ux)'=eᵘ+u，u'x+u=eᵘ+u，u'x=eᵘ，du/eᵘ=dx/x，-1/eᵘ=ln|x|+ln|c|(c为任意常数)，微分方程的通解为
-1=ln(cx)e^(y/x)
微分方程为xdy/dx+2y=lnx，化为x²dy/dx+2xy=xlnx，d(x²y)/dx=xlnx，x²y=0.5x²lnx-0.25x²+c，微分方程的通解为y=lnx-0.25+c/x²

Answer 3

(1) 令 y = xu， 则 dy/dx = u+xdu/dx
dy/dx = e^(y/x) + y/x 化为 xdu/dx = e^u ,
e^(-u)du = dx/x, -e^(-u) = lnx - C,
通解 e^(-y/x) = C = lnx
（2） xdy/dx + 2y = lnx, 定义域 x > 0, 则
dy/dx + 2y/x = lnx/x 为一阶线性微分方程， 通解是
y = e^(∫-2dx/x)[∫(lnx/x)e^(∫2dx/x)dx + C]
= (1/x^2)[∫xlnxdx + C] = (1/x^2)[(1/2)∫lnxd(x^2) + C]
= (1/x^2)[(1/2)x^2lnx - (1/2)∫xdx + C]
= (1/x^2)[(1/2)x^2lnx - (1/4)x^2 + C]
= (1/2)lnx - 1/4 + C/x^2