函数f(x)=x[1/(2^x-1)+1/2] 1.求函数的定义域2.讨论奇偶性3求证f(x)>0
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1.求函数的定义域
2^x-1≠ 0 解得：x≠ 0
2.讨论奇偶性
f(x)=x[1/(2^x-1)+1/2]=x(2^x+1)/2(2^x-1)
f(-x)=-x{1/[2^(-x)-1]+1/2}=-x(2^x+1)/2(1-2^x)=x(2^x+1)/2(2^x-1)
f(x)=f(-x)
所以是偶函数!
3求证f(x)>0
f(x)=x[1/(2^x-1)+1/2]=x(2^x+1)/2(2^x-1)
因：当x<0时有：2^x+1>0, 2^x-1<0 所以
x(2^x+1)/2(2^x-1)>0，即：f(x)>0
当x>0时有：2^x+1>0, 2^x-1>0 所以
x(2^x+1)/2(2^x-1)>0，即：f(x)>0
综上可知，只要x在定义域内都有f(x)>0
2^x-1≠ 0 解得：x≠ 0
2.讨论奇偶性
f(x)=x[1/(2^x-1)+1/2]=x(2^x+1)/2(2^x-1)
f(-x)=-x{1/[2^(-x)-1]+1/2}=-x(2^x+1)/2(1-2^x)=x(2^x+1)/2(2^x-1)
f(x)=f(-x)
所以是偶函数!
3求证f(x)>0
f(x)=x[1/(2^x-1)+1/2]=x(2^x+1)/2(2^x-1)
因：当x<0时有：2^x+1>0, 2^x-1<0 所以
x(2^x+1)/2(2^x-1)>0，即：f(x)>0
当x>0时有：2^x+1>0, 2^x-1>0 所以
x(2^x+1)/2(2^x-1)>0，即：f(x)>0
综上可知，只要x在定义域内都有f(x)>0
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