Question

设函数f(x)=1+x^2/1-x^2...(1)求它的定义域；（2）判断它的奇偶性；求证：f(1/x)=-f(x)

Answer 1

题目有歧义 若是 f(x)=（1+x^2）/（1-x^2）
1）令1-x^2≠0，得到x≠±1
定义域为｛x|x≠±1｝
2）首先定义域关于原点对称，
f（-x）=【1+（-x）^2】/【1-（-x）^2】=（1+x^2）/（1-x^2）=f（x）
所以为偶函数
3）f(1/x)=【1+（1/x）^2】/【1-（1/x）^2】 （分子分母 同乘以x^2）
=（x^2+1）/（x^2-1）=-（1+x^2）/（1-x^2）=-f(x)

Answer 2

解：（1）只需让它的分母不为零就行了即：
1-x^2≠0
解得x≠±1
(2) 因为f(-x)=1+x^2/1-x^2=f(x)
所以此函数为偶函数
f(1/x)=1+x^2/x^2-1
-f(x)=1+x^2/x^2-1
所以f(1/x)=-f(x)

Answer 3

(1)
由f(x)=(1+x^2)/(1-x^2)有1-x^2≠0

解得x≠1且x≠-1

即f(x)的定义域是{x|x≠1且x≠-1}

(2)
f(x)的定义域是{x|x≠1且x≠-1}关于原点对称

且f(-x)=(1+(-x)^2)/(1-(-x)^2)=(1+x^2)/(1-x^2)=f(x)

所以f(x)是偶函数

f(1/x)=(1+(1/x)^2)/(1-(1/x)^2)=(1+1/x^2)/(1-1/x^2)=(1+x^2)/(x^2-1)=-(1+x^2)/(1-x^2)=-f(x)

Answer 4

1.1-x^2≠0得到x≠1且x不等于-1；
2.偶函数，f（-x）=f（x）；
证明：
f（1/x）=【1+（1/x）^2】/【1-(1/x)^2】=(x^2+1)/(x^2-1)=-f(x)