Question

已知f(x)=x[1/(2x-1)+1/2] ,（1）求定义域 （2）判断函数的奇偶性

Answer 1

分母不等于0
x²+1≠0
x²≠-1
然不等式肯定成立
所以定义域是R
f(x)=2x/(x²+1)
上下除以x
=2/(x+1/x)
则x>0,x+1/x≥2√(x*1/x)=2
x<0,则-x>0
所以-x+1/(-x)≥2√[(-x)*1/(-x)]=2
所以x+1/x≤-2
所以x+1/x≤-2，x+1/x≥2
所以-1/2≤1/(x+1/x)<0，0<1/(x+1/x)≤1/2
所以-1≤2/(x+1/x)<0，0<2/(x+1/x)≤1
且f(0)=0
所以值域[-1,1]
f(-x)=-2x/(x²+1)=-f(x)
且定义域是R，关于原点对称
所以是奇函数
f(x)==2/(x+1/x)
分母是对勾函数
则0<x,1,x+1/x是减函数，则2/(x+1/x)是增函数
同理，x>1,2/(x+1/x)是减函数
奇函数则对称区间内单调性相同
所以
x<-1,x>1是减函数
-1<x<1是增函数