Question

已知函数f(x)=x^2+2x+alnx。

（1）当a=-4，求函数f(x)的极值。
（2）讨论函数f(x)的单调增区间。
（3）当t≥1时,不等式f(2t-1)≥2f(t)-3 试求a的取值范围

Answer 1

1) f'(x)=2x+2+a/x=(2x^2+2x+a)/x =(2x^2+2x-4)/x=0 (x>0)
x^2+x-2=0
(x-1)(x+2)=0
所以
有唯一驻点x=1,左边导数小于0，右边导数大于0，即取极小值f(1)=3.
2) f'(x)=2x+2+a/x=(2x^2+2x+a)/x
因为x>0,所以f'(x)的符号由二次函数g(x)=x^2+x+a/2决定。
二次函数g(x)的对称轴为x=-1/2<0,所以g(x)在(0，+无穷大)上单调增加。因此如果g(1)=2+a/2<=0,即a<=-4，那么g(x)在(0，1)上恒小于0，因此f(x)单调减少。
如果g(0)=a>=0, g(x)在(0，1)上恒大于0，因此f(x)在(0，1)单调增加。
因此 若函数f（x）在区间(0，1)上恒为单调函数, a>=0或者a<=-4.

(2) f(2t-1)>=2f(t)-3
<----> 2t^2-4t+2+aln(2t-1)=2lnt>=0
2(t-1)^2>+alm(2t-1)-2lnt>=0

设x=t-1, x>=0, 上面不等式等价于
2x^2+aln(2x+1)-2aln(x+1)>=0
ln(2x+1)<=ln(x^2+2x+1)=2ln(x+1)
所以如果a<=0, 上面的不等式显然成立。
所以现在设a>0.
2x^2+aln[(2x+1)/(x^2+2x+1)]>=0
ln[(2x+1)/(x^2+2x+1)]=ln[1-x^2/(x^2+2x+1)]>=-x^2/(x^2+2x+1)].
所以如果2x^2-ax^2/(x^2+2x+1)]>=0, 即2(x+1)^2-a>=0,那么原不等式自然成立。2(x+1)^2-a>=0恒成立对x>=0, 那么a<=2.
如果a>2, 因为当x--->0+时， 极限x^2/ln[1-x^2/(x^2+2x+1)]=-1, 因此对充分小的正数x,2x^2+aln[1-x^2/(x^2+2x+1)]=ax^2*[2/a+ln[1-x^2/(x^2+2x+1)]/x^2]<0.

综上， a<=2.