Question

作非退化线性替换把二次型化成标准形，写出所作的非退化线性替换，并求二次型的秩

f(x1,x2,x3)=x1^2+4x1x2-4x1x3+2x2^2-4x2x3-x3^2

求详细解答过程，谢谢大家，函授试题

Answer 1

f=2x1^2+4x1x2-4x1x3+2x2^2+2x3^2-4x2x3-3x3^2-x1^2
=2(x1+x2-x3)²-x1²-3x3²
设y1=x1
y2=x1+x2-x3
y3=x3
即：x1=y1
x2=y2-y1+y3
x3=y3
C= 1 0 0
-1 1 1
0 0 1 ,其行列式为1≠0
所以其标准型为：-y1²+2y2²-3y3²
矩阵为：B= -1 0 0
0 2 0
0 0 -3
原二次型矩阵为A= 1 2 -2
2 2 -2
-2 -2 -1
可验证：CT A C=B
秩为3
这道题是用配方法，当然也有正交变化法，不过相对来说比较麻烦，你都看看例题的话基本上都会做的。
至于楼上说的看不懂，我表示无语……

Answer 2

这个太难了，看都看不懂更别说答案了。