Question

问一道高三数学题

①y=x^2+2ax+5>=0在区间 [1,3]恒成立，那么a的取值范围是？
②y=x^2+2ax+5<=0在区间 [1,3]恒成立，那么a的取值范围是？
书上的答案 ①：直接把x^2+2ax+5>=0求解，
得a>=-1/2(x+5/x) 推出a>=-根号5

②：利用2次函数知识只需f(1)<=0
f(3)<=0
推出 a<=-3
我要问的是 ，为什么②中要利用2次函数知识来解，直接用①中的方法解不可以吗？我试了下，答案是错误的，为什么？帮忙解惑一下

Answer 1

第二问解答的依据是：y在 [1,3]恒小于等于0，即最大值恒小于等于0，而y是开口向上的二次函数，故在闭区间的最值只可能在端点处取得，故只需联立不等式f(1)<=0， f(3)<=0即可；
第一问解答的依据是：把y看成是a的一次函数，由于2x恒正，故解出a的表达式，a>=-1/2(x+5/x)
，求出-1/2(x+5/x)的最大值即可，即(x+5/x)的最小值

Answer 2

①中推出a≥-1/2(x+5/x)
这个式子要在x∈[1,3]上恒成立，那么a就要大于-1/2(x+5/x)在[1,3]上的最大值
因为x+5/x≥2√5
那么-1/2(x+5/x)≤-√5
就是说-1/2(x+5/x)的最大值是-√5
所以a≥-√5

②中推出a≤-1/2(x+5/x)
这个式子要在x∈[1,3]上恒成立，那么a就要小于-1/2(x+5/x)在[1,3]上的最小值
由于通过均值不等式只能得到-1/2(x+5/x)的最大值，所以不可以这样求
但是，如果你知道f(x)=-1/2(x+5/x)的函数图象的特点的话，你也可以求出它的最小值为f(1)=-3
所以a≤-3

Answer 3

该题考察的是二次函数取值的问题，在你给出的答案中，显然第1问成立，因为在a>=-1/2(x+5/x)中，x+5/x有最小值，但，a>=-1/2(x+5/x)前有个负号，则a大于最大值，成立。而在第2问中，a小于或等于一个最大值（本因小于最小值，就可以的），固然不成立。

Answer 4

用①中的方法解也是可以的a<=-1/2(x+5/x)
x+5/x大于2√5
-1/2(x+5/x)<=-√5
也就是a<=-√5答案怎么不是a≤-3
两种方法都可以的

Answer 5

一般的数学题有疑问时可以用特值法来简单求证或举出反例如上题，当A = π/2，B =-π/2时， Sin( A - π/4 )=Sin( π/4 - B ) 但A-π/