Question

物理圆周运动问题

质量为m的小球在半径为r的圆形水管中做圆周运动的话，是否只要保证最小速度为√4gr就能做完整的圆周运动。而在圆形轨道中完整的圆周运动必须满足最高点速度为√gr ？

Answer 1

在上半圆周内水管也可以提供向上的支持力，所以只需要小球可以运动到最高点就可以保持圆周运动的完整性。（其实就算小球没有运动完整个圆周它时时刻刻也处于圆周运动状态下，所以这里说圆周运动的完整性我觉得更恰当。）所以所需最小速度就是使得小球恰好运动到最高点的速度，即小球到达最高点时速度刚好为零。结果就是你说的那个。
至于换成了圆环，小球处于上半圆周时只能得到沿着半径方向指向圆心的压力。那么到底满足什么条件才能使得小球在上班圆周也能做圆周运动呢？仔细想想圆周运动，如果向心力小了，球就做离心运动，向心力大了球就做向心运动，均不能维持圆周运动。这是个圆环，如果向心力小了，在圆环压力的帮助下，小球一定可以获得何时的向心力而维持圆周运动的状态。问题是，如果向心力过大了，不像管子可以给一个力，圆环将无能为力。这是小球就不会维持圆周运动状态了。因此小球所处的圆周运动状态有个特点，圆环一定要对小球施力。这就是决定性条件。
所以F(向)=mg*cos(theta)+N=m*(v^2)/r且N≥0.这里theta是小球与圆心连线与竖直方向的夹角，所以-Pi/2≤theta≤Pi/2，所以即v≥√g*r*cos(theta)；所以v≥√g*r。只要保证了小球在上半圆周内运动时速度一直大于等于这个值就可以维持圆周运动了（这里没说圆周运动的完整性，因为小球速度不够就成为平抛或斜抛运动了，不再是圆周运动）。而圆周运动时最小速度出现在最高点，所以最高点的最小速度就是√g*r。

Answer 2

问题补充：答案：（1）0.866 （2）3450 （3）13.2 要详细过程~~~万分2＝3450焦耳（3）手机是做平抛运动，设它在水平方向运动距离为S就到地面，

Answer 3

楼上说的很对，在水管中顶端，可以不再需要如绳子那样的力，管壁会提供相应的背离圆心的支持力，与指向圆心的压力，所以只要小球到达了顶端，就可以完成圆周运动了，然后，可以根据机械能守恒来做，2mgr=(1/2)mv^2,所以v最小是√4gr