Question

在三角形ABC中，D是BC边上中点，且AD＝AC，DE垂直于BC，DE与BA相交于E，EC于AD相交于F，

(1)求证：三角形ABC相似于三角形FCD；（2）若S三角形FCD=5，BC=10,DE的长

Answer 1

(1).因为AD=AC,所以△ADC是等腰三角形,所以∠ADC=∠ACD;因为D是BC中点，DE垂直于BC，所以DE是BC中垂线，所以DB=DC，△DBC是等腰三角形，∠DBC=∠DCB，则△ABC与△FCD有两对角分别对应相等，所以△ABC相似于△FCD。
(2).因为△ABC相似于△FCD，D为BC中点，所以相似比为BC/DC=2；面积比为2^2=4，所以S△ABC=4*S△FCD=20；过A作△ABC的高交BC于G点，所以BC边上的高AG=20*2/10=4；
因为AG垂直于BC，DE垂直于BC，所以∠AGB=∠EDB=90；又有∠ABG=∠B=∠EBD,所以△ABC相似于△EBG，因为△ADC是等腰三角形，所以G是DC中点，是BC的1/4点，BG=3/4BC，所以相似比为BG/BD=(10*3/4)/(10*1/2)=3/2,
所以AG/DE=4/DE=3/2,
所以DE=8/3。

Answer 2

解：连结EF、AE。证明：∵E、F分别为边BC、AC中点，∴EF为△ABC的中位AD:AB=AF:AC=1:2，且∠DAF=∠BAC=90 ∴三角形DAF∽三角形BAC ∴∠