Question

设函数f（x）=4x^3+ax+2,曲线y=f(x)在点P(0,2)处切线斜率-12 （1）、求a的值

（2）函数f(x)在区间[-3,2]最大值和最小值

Answer 1

【题目】：
设函数f(x)=4x^3+ax+2，曲线y=f(x)在点P(0，2)处切线斜率-12 ；
1) 求a的值？
2) 函数f(x)在区间[-3，2]最大值和最小值？

【导数解题法】
问题一：
1) 求a的值
解：
∵ 函数f(x)=4x^3+ax+2
∴ 函数f(x)导数为：
f '(x)=4×3x²+a
=12x²+a
∵ 曲线y=f(x)在点P(0，2)处切线斜率-12 ；
∴ 切线斜率 f '(0)=-12，即：
12×0²+a=-12
a=-12

问题二：
1) 函数f(x)在区间x∈[-3，2]最大值和最小值？
∵ 函数f(x)=4x^3-12x+2； 函数f(x)导数为：f '(x)=12x²-12
∴ f '(x)=12x²-12=0，解方程得到：x=1，x=-1
∴ 函数f(x)、及其导数f '(x)的极值点列表如下：
(-∞，-1) -1 (-1，1) 1 (1，+∞)
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↑ f(-1) ↓ f(1) ↑
极大值 极小值
∵ 函数f(x)=4x^3-12x+2，x∈[-3，2]中的几个点的值为：
f(-3)=-70 f(-1)=10 f(1)=-6 f(2)=10
f(-3)< f(1)< f(-1)=f(2)
∴ 当x∈[-3，2]中，f(x) 的最值情况如下：
f(x)最大值的点为(-1，10)、(2，10)，其最大值为：10
f(x)最小值的点为(-3，-70)，其最小值为：-70
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Answer 2

f'(x)=12x^2+a
曲线y=f(x)在点P(0,2)处切线斜率-12 所以有：
f'(0)=a=-12 即：a=-12
(2）函数f(x)在区间[-3,2]最大值和最小值
f'(x)=12x^2-12, 当x=1,或x=-1时f(x)=0
f''(x)=24x
当x=1,时，f''(1)=24>0 所以有最小值，f(1)=-6
当x=-1时，f''(-1)=-24<0所以有最大值，f(-1)=10

Answer 3

(1) f ′(x)=12x²+a，f ′(0)=a=-12，即a=-12；
(2).f(x)=4x³-12x+2
令 f′(x)=12x²-12=12(x²-1)=12(x+1)(x-1)=0，得驻点x₁=-1；x₂=1.
x经过x₁是f′(x)由正变负，因此x₁是极大点；当x经过x₂时f′(x)由负变正，故x₂是极小点。于是
得maxf(x)=f(-1)=-4+12+2=10，minf(x)=f(1)=4-12+2=-6.
x<-1时f′(x)>0，故在区间(-∞，-1)单调增；当-1<x<1时，f′(x)<0，故在区间(-1，1)内单调减；当
x>1时f′(x)>0，故在区间（1，+∞）内单调增。所以在区间[-3，2]内，f(x)的最大值为10，最小值为-6.

Answer 4

设函数f（x）=4x³+ax+2,曲线y=f(x)在点P(0,2)处切线斜率-12 （1）、求a的值；（2）函数f(x)在区间[-3,2]最大值和最小值
解：(1) f ′(x)=12x²+a，f ′(0)=a=-12，即a=-12；
(2).f(x)=4x³-12x+2
令 f′(x)=12x²-12=12(x²-1)=12(x+1)(x-1)=0，得驻点x₁=-1；x₂=1.
x经过x₁是f′(x)由正变负，因此x₁是极大点；当x经过x₂时f′(x)由负变正，故x₂是极小点。于是
得maxf(x)=f(-1)=-4+12+2=10，minf(x)=f(1)=4-12+2=-6.
x<-1时f′(x)>0，故在区间(-∞，-1)单调增；当-1<x<1时，f′(x)<0，故在区间(-1，1)内单调减；当
x>1时f′(x)>0，故在区间（1，+∞）内单调增。所以在区间[-3，2]内，f(x)的最大值为10，最小值为-6.