Question

求证：关于x的一元二次不等式ax2－ax＋1＞0对于一切实数x都成立的充要条件是0＜a＜4

Answer 1

∵ax²-ax+1=a(x²-x+1/4)+1-a/4=a(x-1/2)²+(4-a)/4
∴要使X∈R，该函数大于0，必须确保该函数为开口向上的抛物线
∴a>0且1-a/4>0
∴1-a/4>0===>a<4
∴0<a<4

Answer 2

（1）必要性：若ax2-ax+1＞0对x∈R恒成立，由二次函数性质有：
a＞0①；a2-4a＜0②
∴0＜a＜4.
（2）充分性：若0＜a＜4，对函数y=ax2-ax+1,其中△=a2-4a=a(a-4)＜0且a＞0.
∴ax2-ax+1＞0对x∈R恒成立。
由（1）（2）知，命题得证。

Answer 3

正确。先保证a>0,然后让方程的最小值大于0即可。