Question

如图,M,P分别是△ABC的边AB、BC上的点在AC上求作一点N，使△PMN的周长最小，并说明理由.

就是这个图片

Answer 1

作法:
1)作出点C关于AB的对称点C',连接AC'.
2)延长PM,交射线AC'于D;
3)在AC上截取AN=AD.
则点D就是要求作的点.
(此时,三角形PMN周长最小)

追问

那么理由呢？可以有图吗？

追答

刚才看错了,应该是:
1)作出点M关于AC的对称点M';
2)连接PM',交AC于N.
则点N就是要求作的点.
证明:在AC上另取点N',连接MN,PN;MN',PN'.
则:MN+PN=M'N+PN=PM';
MN'+PN'=M'N'+PN'.
故:PM'<M'N'+PN'(三角形三边关系)
即MN+PN<MN'+PN'.
故MN+PN+MP<MN'+PN'+MP.

追问

那有图吗？看不懂

追答

请看图：

追问

M' 怎么会出现在外面呀，不是对称点吗、

追答

点M’只是一个为我们解题提供辅助的点，它在外不在外没有关系，只要我们能找到点N即可。
点M‘在三角形外是一定的，因为点M’与点M关于AC对称，这两个点必须在AC两侧，且到AC的距离相等。

追问

你画的三角形跟我们不一样，我这个是等腰的

追答

这与图形没有关系，只要按照上面说的做，找到的点N就是唯一确定的满足题意的点。
（自己想一想吧）

追问

恩