Question

如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G E分别是边AB BC的中点，∟AEF=90°，且E

Answer 1

如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90o，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．

（1）证明：∠BAE=∠FEC；

（2）证明：△AGE≌△ECF；

（3）求△AEF的面积．

（1）证明：∵∠AEF=90o，
∴∠FEC+∠AEB=90o．在Rt△ABE中，∠AEB+∠BAE=90o，
∴∠BAE=∠FEC

（2）证明：∵G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，
∴AG=GB=BE=EC，且∠AGE=180o－45o=135o．
又∵CF是∠DCH的平分线，
∠ECF=90o+45o=135o．
在△AGE和△ECF中，
∴△AGE≌△ECF；

3）解：由△AGE≌△ECF，得AE=EF．
又∵∠AEF=90o，
∴△AEF是等腰直角三角形．
由AB=a，BE=a，知AE=a，
∴S△AEF=a2．

Answer 2

解答：（1）证明：∵∠AEF=90°，
∴∠FEC+∠AEB=90°；
在Rt△ABE中，∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠FEC；

（2）证明：∵G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，
∴AG=GB=BE=EC，且∠AGE=180°-45°=135°；
又∵CF是∠DCH的平分线，
∠ECF=90°+45°=135°
在△AGE和△ECF中， ；
∴△AGE≌△ECF

（3）解：由△AGE≌△ECF，得AE=EF；
又∵∠AEF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形
由AB=a，BE= a，知AE= a，
∴S△AEF= a2．

Answer 3

如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90o，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．

（1）证明：∠BAE=∠FEC；

（2）证明：△AGE≌△ECF；

（3）求△AEF的面积．

（1）证明：∵∠AEF=90o，
∴∠FEC+∠AEB=90o．在Rt△ABE中，∠AEB+∠BAE=90o，
∴∠BAE=∠FEC

（2）证明：∵G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，
∴AG=GB=BE=EC，且∠AGE=180o－45o=135o．
又∵CF是∠DCH的平分线，
∠ECF=90o+45o=135o．
在△AGE和△ECF中，
∴△AGE≌△ECF；

3）解：由△AGE≌△ECF，得AE=EF．
又∵∠AEF=90o，
∴△AEF是等腰直角三角形．
由AB=a，BE=a，知AE=a，
∴S△AEF=a2．

Answer 4

（1）证明：
　 因为G，E为AB，BC　中点
　　所以AG＝CE
　　又因为CF为正方形的外角平分线，所以角FCE＝角AGE
　　因为角EAB＋角AEB＝90度
　　角AEB＋角FEC＝90度
　　所以角EAB=角FCE
（2）结合（1）的结论，根据角边角原理证得三角形AGE全等三角形ECF
（3）求三角形AEF的面积。(用含a的式子表示） 有（1）知，AE=EF
AE的平方＝AB的平方＋EB的平方
　　即AE＝根号下5／2＊a
　　三角形AEF的面积为1.25a

Answer 5

1）由于∠AEF是直角，则∠BAE和∠FEC同为∠AEB的余角，由此得证；
（2）根据正方形的性质，易证得AG=EC，∠AGE=∠ECF=135°；再加上（1）得出的相等角，可由ASA判定两个三角形全等；
（3）在Rt△ABE中，根据勾股定理易求得AE2；由（2）的全等三角形知：AE=EF，即△AEF是等腰Rt△，因此其面积为AE2的一半，由此得解．解答：（1）证明：∵∠AEF=90°，
∴∠FEC+∠AEB=90°；（1分）
在Rt△ABE中，∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠FEC；（3分）

（2）证明：∵G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，
∴AG=GB=BE=EC，且∠AGE=180°-45°=135°；
又∵CF是∠DCH的平分线，
∠ECF=90°+45°=135°；（4分）
在△AGE和△ECF中， ；
∴△AGE≌△ECF；（6分）

（3）解：由△AGE≌△ECF，得AE=EF；
又∵∠AEF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形；（7分）
由AB=a，BE= a，知AE= a，
∴S△AEF= a2