Question

对于函数f(x)=x^2+ax+b(a,b属于R),当x属于[-1,1]时f(x)的绝对值的最大值为M,求证M大于等于1/2

用反证法

Answer 1

反证法。假设M<1/2.则有以下三式：
|f(0)|=|b|<1/2
|f(-1)|=|1-a+b|<1/2--> 1+a^2+b^2-2a+2b-2ab<1/4
|f(1)|=|1+a+b|<1/2-->1+a^2+b^2+2a+2b+2ab<1/4
后两式相加得：2+2a^2+2b^2+4b<1/2
化成a^2+(b+1)^2<1/4
由于|b|<1/2,因此上式左边大于1/4,因此矛盾。
所以结论成立。

Answer 2

对于函数f(x)=x^2 ax b(a,b属于R),当x属于[-1,1]时f(x)的绝对值的最大值为M,求证M大于等于1/2 M≥│f(1)│=│1 a b│ M≥│