Question

求不定积分∫dx/x^2*(1+x^2)^(1/2)

答案是设x=1/t 则 dx=-t^-2 dt
原式=∫dx/x^2*(1+x^2)^(1/2) =-∫tdt/(1+t^2)^(1/2) .......请问这步是怎么得出来的

Answer 1

设 x = 1/t 则 dx= - t^(-2) dt
分母 x^2 * (1+x^2)^(1/2) = t^(-2) * ( 1+1/ t^2 )^(1/2) = t^(-3) * (t^2 +1)^(1/2)
代入，得：
原式=∫ dx / [ x^2*(1+x^2)^(1/2) ]
= - ∫ t dt / (1+t^2)^(1/2)

追问

t^(-2) * ( 1+1/ t^2 )^(1/2) = t^(-3) * (t^2 +1)^(1/2)
请问为什么根号里面的t由-2次方变成平方

追答

( 1+ t^(-2) )^(1/2) 提取一个 t^(-1)
= t^(-1) ( t^2 +1) ^ (1/2)

追问

这样提 t^(-1)是不是有公式？貌似没学过 额。。

追答

( 1+ t^(-2) )^(1/2) = [ t^(-2) * ( t^2 +1) ] ^(1/2)
= t^(-1) ( t^2 +1) ^ (1/2) 这里实际上假设了 x>0, t =1/x >0

Answer 2

将x=1/t，dx = -dt/t^2带进去就得到
这题更快的做法是令x=sht（双曲正弦函数）
则原式 = 1/sh^2 t dt
= cht t