Question

在△ABC中，a，b，c分别是A,B,C的对边，设f（x）=a^2x^2-(a^2-b^2)x-4c^2

(1)若f（1）=0，且B-C=π/3，求角C的大小
（2）若f（2）=0，求角C的取值范围

Answer 1

(1)因为f(x)=a²x²-(a²-b²)t-4c²且f(1)=0
b²-4c²=0,sinB=2sinC
sin(C+π/3)=2sinC
1/2sinC+根号3/2cosC=2sinC
根号3(根号3/2sinC-1/2cosC)=0
sin(C-π/6)=0
C=π/6
(2)因为f(x)=a²x²-(a²-b²)t-4c²且f(2)=0
所以4a²-2(a²-b²)-4c²=0
即a²+b²＝2c² （1）
则由余弦定理：
c²＝a²+b²-2ab*cosC=2c²-2ab*cosC
即c²＝2ab*cosC
所以cosC＝c²/(2ab)
由均值定理a²+b²≥2ab (当且仅当a=b时取等号)
则由（1）式知2c² ≥2ab
所以cosC＝c²/(2ab)≥c²/(2c²)
即cosC≥1/2
所以π/3≥∠C>0
即∠C的取值范围是(0,π/3]