Question

设x1,x2是方程x^2-（2m+1）x+m^2=0的两个实数根，且两实数根的倒数和等于3，试求m的值

Answer 1

有俩实根，所以判别式 (2m+1)^2 - 4m^2 > 0 也就是 4m+1>0 , m>-1/4 这是m要满足的第一个条件

然后用
韦达定理（韦达定理在非实数根的时候也成立，所以韦达定理确定的式子不能保证有俩个实数根着一点，所以上面才事先讨论判别式，注意）
根据韦达定理x1+x2 = 2m+1 x1x2 = m^2
所以 3 = 1/x1 + 1/x2 (通分) = x2/x1x2+x1/x1x2 = (x1+x2)/x1x2 = (2m+1)/m^2
所以 3m^2 =2m+1 也就是 3m^2-2m-1=0 也就是(3m+1)(m-1)=0 （如果分解不是很灵活的话 你也可以用求根公式直接算出来），所以 m=-1/3或 m=1 因为前面要求m>-1/4 所以-1/3要舍掉
所以答案是 m=1

Answer 2

解：根据根与系数的关系可得：
x1+x2=2m+1
x1*x2=m²
且1/x1+1/x2
=(x2+x1)/x1*x2
=(2m+1)/m²=3
所以3m²=2m+1
3m²-2m-1=0
(3m+1)(m-1)=0
解得：m=-1/3 或m=1
但当m=-1/3方程x^2-（2m+1）x+m^2=0无解
所以m=1

Answer 3

判别式=(2m+1)^2-4m^2=4m+1≥0，m≥-1/4
又：根据韦达定理
x1+x2=2m+1
x1x2=m^2
1/x1+1/x2=3
(x1+x2)/(x1x2)=3
(2m+1)/m^2=3
3m^2-2m-1=0
(3m+1)(m-1)=0
m=-1/3，或1
综上，m=1

追问

没有学过伟大定理

追答

没学过韦达定理也不要紧，其实韦达定理可以非常简单底推出来的：
x^2-（2m+1）x+m^2=0
判别式△=(2m+1)^2-4m^2 = 4m+1
求根公式：
x1 = {(2m+1)-√△}}/2，x2={(2m+1)+√△}}/2
x1+x2 = 2m+1
x1*x2=m^2