Question

已知函数f（x）=三分之一x的三次方-x的平方+ax-a

（1）当a=-3是，求函数f（x0的极值

Answer 1

f(x)=(1/3)x³-x²-3x+3
f'(x)=x²-2x-3=(x-3)(x+1)
令f'(x)=0得x=3或x=-1
当x<-1时，f'(x)>0 是增函数
当-1<x<3时，f'(x)<0是减函数
当x>3时，f'(x)>0 是增函数
所以当x=-1时，取极大值f(-1)=14/3
当x=3时，取极小值f(3)=-6

Answer 2

求导得2ax+1/x
令其大于0
得2ax+1/x>0
=>
2ax>-1/x
(inx中的定义域是x>0)
=>
2ax^2>-1
=>
x^2>-1/2a
=>
x>sqrt(-1/2a)时单调递增
又因为sqrt（-1/2a）中-1/2a必须大于等于0所以a<0

令2ax+1/x<0
解得x<sqrt(-1/2a)时单调递减

令2ax+1/x=0
解得x=ssqrt（-1/2a）时有极值

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Answer 3

f(x)=(1/3)x³-x²-3x+3
f'(x)=x²-2x-3=(x-3)(x+1)
令f'(x)=0得x=3或x=-1
当x<-1时，f'(x)>0
是增函数
当-1<x<3时，f'(x)<0是减函数
当x>3时，f'(x)>0
是增函数
所以当x=-1时，取极大值f(-1)=14/3
当x=3时，取极小值f(3)=-6

Answer 4

解：a=-3时化简f(x)=1/3*(x^3)-x^2-3x+3=1/3*x^2(x-3)-3*(x-3)-6=(x-3)*(1/3*x^2-3)-6
当x大于3时，(x-3)大于0，(1/3*x^2-3)大于0，则有(x-3)*(1/3*x^2-3)大于0，因此f(x)值大于-6
当x小于3且大于-3时，(x-3)小于0，(1/3*x^2-3)小于0，则有(x-3)*(1/3*x^2-3)大于0，因此f(x)值大于-6
当x小于-3时，(x-3)小于0，(1/3*x^2-3)大于0，则有(x-3)*(1/3*x^2-3)小于0，因此f(x)值小于-6
因此当x大于-3，且x=3时，f(x)有极值 ，最小值f(x)=-6
同样当x小于等于-3，且x=-3时，f(x)有极值 ，最大值f(x)=-6