Question

线性代数特征向量问题求解

1）设a是n阶矩阵A的特征向量，T是n阶可逆矩阵，B=T-1AT，求B的一个特征向量。

2）设A是m*n矩阵，B是n*m矩阵，m>n，问齐次线性方程组（AB)X=0是否有非零解，并证明之。
感谢回答。一楼二楼的回答都很好，呵呵，我都不知道把分给谁了。正好再问两个问题，追加10分。
1）A=[a1,a2,a3,...an]n*n(注：1,2，...n，n*n都是下标)，r（A）=n-1，则AX=0的通解为？
2）设A是n（>1）阶矩阵，零是特征多项式f（m）= |mE-A| 的单根，即零是A的单重特征值，求r（A）。（答案是n-1，怎么求？）

Answer 1

(1) 设a是n阶矩阵A的属于特征值λ特征向量, 则 Aa = λa
--变形:
所以有 A(TT^-1)a = λa
--结合律:
所以 AT (T^-1 a) = λa
--左乘T^-1
所以 T^-1AT (T^-1a) = λ (T^-1a)
所以 T^-1a 是 B=T^-1AT 的 属于特征值 λ 的特征向量.

(2) (AB)X=0 有非零解.
由A是m*n矩阵，B是n*m矩阵
因为 r(AB) <= r(A) <= n < m
而 AB 是m阶矩阵
故 (AB)X=0 有非零解.
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哈, 追加问题了.
最好另提问, 否则很难注意到问题的补充 (追问有提醒, 补充没有提醒)
补充回答就从1楼降到3楼了, 很讨厌的事情!
好像别人先回答, 我又来抢分似的, 不爽!

1) 由于已知条件不足, 所以无法给出确定的答案
因为 r(A) = n-1, 所以 a1,a2,...,an 线性相关
即 存在一组不全为0的数, 满足 k1a1+k1a2+...+knan = 0
即 (k1,k2,...,kn)^T 是 AX=0 的一个非零解.
而 AX=0 的基础解系含 n - r(A) = n-(n-1) = 1
所以 (k1,k2,...,kn)^T 是 AX=0 的一个基础解系.
所以AX=0的通解为: c (k1,k2,...,kn)^T , c为任意常数.

2) 楼上的回答可以
事实上, 对单重特征值λ必有 n - r(A-λE) = 1, 而不是 n - r(A-λE) <= 1.
所以, 对λ=0 有 n-r(A) = 1, 即有 r(A) = n-1.

Answer 2

1. 由已知得：BT^(-1)=T^(-1)A，于是 b=T^(-1)a 是B的一个特征向量
2. r(AB)<= min {r(A)，r(B)} <= n<m，但 AB 是 m 阶方阵
于是|AB|=0，从而齐次线性方程组（AB)X=0必有非零解
补充的 1)暂时不会表示
2)利用定理：若m是A的特征值，则它的重数 >= n - r(A-mE)
从而利用0是A的单重特征值，则 1 >= n - r(A-0)=n-r(A)，于是r(A)>=n-1。①
又|A|=所有特征值的乘积=0(因为0是一个特征值，0乘任何数=0)，于是r(A)<n。②
从而由①②得 r(A)=n-1

Answer 3

原来“B=T-1AT”这个”-1“是次方！