Question

数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn与an之间满足an=2Sn^2/2Sn -1 (n>=2)

设存在正数K，使（1+S1)(1+S2)…(1+Sn)≥k√(2n+1)对任意n∈N*都成立，求k的max。

Answer 1

已知an=2Sn^2/(2Sn -1)
则an=Sn-S(n-1)=2Sn²/(2Sn -1)
2Sn²-2Sn*S(n-1)-Sn+S(n-1)=2Sn²
-2Sn*S(n-1)-Sn+S(n-1)=0,
两边同除以Sn*S(n-1)
-2-1/S(n-1)+1/Sn=0
1/Sn-1/S(n-1)=2
所以{1/Sn}是公差为2的等差数列
首项为1/S1=1
所以1/Sn=1+2(n-1)= 2n-1，
Sn=1/(2n-1)

(1+S1)(1+S2)…(1+Sn)≥k√(2n+1)对任意n∈N*都成立，
即(1+1)(1+1/3) (1+1/5)…(1+1/(2n-1))≥k√(2n+1) 对任意n∈N*都成立。

构造函数：
设Tn=(1+1)（1+1/3）（1+1/5）（1+1/7）……（1+1/2n-1）/√(2n+1)
则T(n+1) =(1+1)（1+1/3）（1+1/5）（1+1/7）……(1+1/(2n-1)) (1+1/(2n+1))/√(2n+3)
T(n+1)/Tn=[(2n+2)√(2n+1)]/[(2n+1)√(2n+3)]
因为[(2n+2)√(2n+1)]^2-[(2n+1)√(2n+3)]^2
=(2n+2)^2*(2n+1) - (2n+1)^2*(2n+3)
=8n^3+20n^2+16n+4-(8n^3+20n^2+14n+3)
=2n+1>0
所以T(n+1)/Tn=[(2n+2)√(2n+1)]/[(2n+1)√(2n+3)]>1,
所以Tn递增
又T1=2/√3=2√3/3，所以Tn≥2√3/3.
即(1+1)（1+1/3）（1+1/5）（1+1/7）……（1+1/2n-1）/√(2n+1)的最小值是2√3/3.
∴k的最大值是2√3/3.

Answer 2

1)
由an=2(Sn^2)/(2Sn-1)(n≥2),得
Sn-S(n-1)=2(Sn^2)/(2Sn-1)(n≥2),
得S(n-1)-Sn-2S(n-1)Sn=0
同时除以S(n-1)Sn得到
1/Sn-1/S(n-1)=2
所以数列{1/Sn}是等差数列,首项为1/S1=1/A1=1,公差为2.
2)n≥2时，a[n]=s[n]-s[n-1],
将它代入an=2Sn^2/2Sn-1，并化简，得
1/s[n]=1/s[n-1]+2（n≥2）
上式表明{1/s[n]}是以1/s[1]=1/a[1]=1为首项，2为公差的等差数列
所以1/s[n]=2n-1,s[n]=1/(2n-1)（n≥1）
故n=1时，a[1]=1;
n≥2时，a[n]=s[n]-s[n-1]
=1/(2n-1)-1/(2n-3)
=-2/[(2n-1)(2n-3)]