Question

如图，已知二次函数图像的顶点坐标为（2，0），直线Y=X+1与二次函数的图像交于A,B两点，其中点A在Y轴上.

问题1.二次函数的解析式为？

2.证明点（-m,2m-1)不在（1）中所求的二次函数图像上。

3.若C为线段AB的中心，过点C点做CE垂直X轴于点E，CE与二次函数的图像交于D点。

（1）Y轴上存在点K，使K,A,D,C为顶点的四边形是平行四边形，则K点的坐标？

（2）二次函数的图像上是否存在点P，使得三角形 S三角形POE＝2S三角形ABD？求出P坐标，若不存在，请说明理由？

Answer 1

　　分析：（1）由二次函数图象的顶点坐标为（2，0），故根据抛物线的顶点式写出抛物线解析式．
（2）把该点代入抛物线上，得到m的一元二次方程，求根的判别式．
（3）由直线y=x+1与二次函数的图象交于A，B两点，解得A、B两点坐标，求出D点坐标，
①设K点坐标（0，a），使K，A，D，C为顶点的四边形是平行四边形，则KA=DC，且BA∥DK，进而求出K点的坐标．
②过点B作BF⊥x轴于F，则BF∥CE∥AO，又C为AB中点，求得B点坐标，可得到S三角形ABD=2S三角形ACD，设P（x， 
14x2-x+1），由题意可以解出x．

　　解答：（1）解：顶点坐标为（2，0），可设解析式为：y=a（x-2）2，
把x=0代入y=x+1得y=1，则A（0，1）
再代入y=a（x-2）2得：1=4a，则a=14．
故二次函数的解析式为：y=14（x-2）2=14x2-x+1．

（2）证明：设点（-m，2m-1）在二次函数y=14x2-x+1的图象上，
则有：2m-1=14m2+m+1，
整理得m2-4m+8=0，
∵△=（-4）2-4×8=-16＜0
∴原方程无解，
∴点（-m，2m-1）不在二次函数y=14x2-x+1的图象上．

（3）解：①K（0，-3）或（0，5）；

②二次函数的图象上存在点P，使得S△POE=2S△ABD，
如图，过点B作BF⊥x轴于F，则BF∥CE∥AO，又C为AB中点，
∴OE=EF，由于y=14x2-x+1和y=x+1可求得点B（8，9）
∴E（4，0），D（4，1），C（4，5），
∴AD∥x轴，
∴S△ABD=2S△ACD=2×12×4×4=16．
设P（x，14x2-x+1），
由题意有：S△POE=12×4（14x2-x+1）=12x2-2x+2，
∵S△POE=2S△ABD
∴12x2-2x+2=32
解得x=-6或x=10，
当x=-6时，y=14×36+6+1=16，
当x=10时，y=14×100-10+1=16，
∴存在点P（-6，16）和P（10，16），使得S△POE=2S△ABD，得到
△POE的边OE上的高为16，即点P的纵坐标为16，
然后由16=14x2-x+1可求出P点坐标．　　点评：本题二次函数的综合题，要求会求二次函数的解析式和两图象的交点，会判断点是否在直线上，本题步骤有点多，做题需要细心．

Answer 2

1.顶点坐标为（2，0），可设解析式为：y=a(x-2)²,
把x=0代入y=x+1得y=1，则A（0,1）
再代入y=a(x-2)²得：1=4a,则a=1/4
∴二次函数的解析式为:y=1/4(x-2)²=1/4x²-x+1
2.把坐标（-m,2m-1)代入二次函数解析式得：
2m-1=1/4m²+m+1,即m²-4m+8=0
﹙-4﹚²-4×8﹤0,故此方程无实数根
∴点（-m,2m-1)不在（1）中所求的二次函数图像上
3.⑴联立y=1/4x²-x+1和y=x+1得：x=0，y=1和x=8，y=9，∴A(0,1)和B(8,9)
∵C为线段AB的中点，∴C点坐标为（4,5）
把x=4代入y=1/4x²-x+1得：y=1，∴D(4,1)，CD=5-1=4
当K,A,D,C为顶点的四边形是平行四边形时：KA=CD=4
∴点K的坐标为（0,5）和（0，-3）
⑵∵S三角形POE＝2S三角形ABD
∴½×点P到OE的距离×4=2×½×4×﹙9-1﹚
∴点P到OE的距离=16
把y=16代入:y=1/4(x-2)²=1/4x²-x+1得：
1/4(x-2)²=16，解得：x=10或x=-6
存在，点P的坐标为（10,16）或（-6,16）

Answer 3

iiii