Question

如图，已知二次函数图象的顶点坐标为（2，0），直线y=x+1与二次函数的图象交于A，B两点，其中点A在y轴上

如图，已知二次函数图象的顶点坐标为（2，0），直线y=x+1与二次函数的图象交于A，B两点，其中点A在y轴上．（1）二次函数的解析式为y=______；（2）证明：点（-m，2m-1）不在（1）中所求的二次函数的图象上；（3）若C为线段AB的中点，过C点作CE⊥x轴于E点，CE与二次函数的图象交于D点．①y轴上存在点K，使以K，A，D，C为顶点的四边形是平行四边形，则K点的坐标是______；②二次函数的图象上是否存在点p，使得S三角形POE=2S三角形ABD？求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）解：顶点坐标为（2，0），可设解析式为：y=a（x-2）²（a≠0），
把x=0代入y=x+1得y=1，则A（0，1）
再代入y=a（x-2）²得：1=4a，则a=

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4

．
故二次函数的解析式为：y=

1

4

（x-2）²=

1

4

x²-x+1．

（2）证明：设点（-m，2m-1）在二次函数y=

1

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x²-x+1的图象上，
则有：2m-1=

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4

m²+m+1，
整理得m²-4m+8=0，
∵△=（-4）²-4×8=-16＜0
∴原方程无解，
∴点（-m，2m-1）不在二次函数y=

1

4

x²-x+1的图象上．

（3）解：①K（0，-3）或（0，5）；
②二次函数的图象上存在点P，使得S_△POE=2S_△ABD，
如图，过点B作BF⊥x轴于F，则BF∥CE∥AO，又C为AB中点，
∴OE=EF，由于y=

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x²-x+1和y=x+1可求得点B（8，9）
∴E（4，0），D（4，1），C（4，5），
∴AD∥x轴，
∴S_△ABD=2S_△ACD=2×

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×4×4=16．
设P（x，

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x²-x+1），
由题意有：S_△POE=

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×4（

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x2-x+1）=

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x²-2x+2，
∵S_△POE=2S_△ABD
∴

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2

x²-2x+2=32
解得x=-6或x=10，
当x=-6时，y=

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×36+6+1=16，
当x=10时，y=

1

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×100-10+1=16，
∴存在点P（-6，16）和P（10，16），使得S_△POE=2S_△ABD．