Question

1³+2³+3³+…+n³=?

Answer 1

1^3+2^3+3^3+……+(n-1)^3+n^3=n^2(n+1)^2/4

可以当公式去记得，证明过程如下：
已知1+2+3+……+n=(n+1)n/2
1^2+2^2+3^2+……+n^2=(1/6)n(n+1)(2n+1) (这个结论的证明可以按照证明三次的方法，由一次的公式类比得出)
(n+1)^4=n^4+4n^3+6n^2+4n+1
所以(n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1
n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1 （n>=2）
……
2^4-1^4=4+6+4+1
叠加得(n+1)^4-1=4(1^3+2^3+3^3+……+n^3)+6(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+4(1+2+3+……+n)+n
=4(1^3+2^3+3^3+……+n^3)+n(n+1)(2n+1)+2(n+1)n+n
=4(1^3+2^3+3^3+……+n^3)+2n^3+5n^2+4n
=n^4+4n^3+6n^2+4n
所以4(1^3+2^3+3^3+……+n^3)=n^4+2n^3+n^2=n^2(n+1)^2
所以1^3+2^3+3^3+……+n^3=n^2(n+1)^2/4