Question

求椭圆方程

椭圆中心为原点O,焦点在x轴,离心率e=√2/2,直线y=x+1交椭圆A、B两点,且△AOB的面积=2/3,求椭圆方程。

Answer 1

解：由题意设直线y=x+1交椭圆两点A、B坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，
且不妨设x1>x2，即点A在点B右侧
因为离心率e=c/a=√2/2
所以a=√2*c
又a²=b²+c²，则2c²=b²+c²
即b²=c²，b=c
所以a=√2*c=√2*b
则设焦点在x轴上的椭圆的标准方程为：
x²/(2b²) +y²/b²=1即x²+2y²＝2b²
上述椭圆方程与直线方程y=x+1联立求交点坐标
将y取代易得：x²+2(x+1)²＝2b²
即3x²+4x+2-2b²=0
则x1+x2＝-4/3且x1*x2=(2-2b²)/3
因为直线斜率k=1
所以：
|AB|=√(1+k²) *|x1-x2|
=√(1+k²) *√[(x1+x2)²-4x1*x2]
=√2 *√[16/9 +4(2b²-2)/3]
=(2√2)/3 *√(6b²-2)
又原点O到直线y=x+1即x-y+1=0的距离：d＝1/√2=(√2)/2
所以△AOB的面积S=1/2 *d*|AB|=2/3
即1/2 *(2√2)/3 *√(6b²-2)*(√2)/2=2/3
化简得：√(6b²-2)=2
则6b²-2=4
解得b=1
则c=1,a=√2
所以椭圆方程为：
(x²/2) +y²=1