Question

在正方形ABCD中，点P是CD上一动点。连接PA，分别过点D、B作BE⊥PA、DF⊥PA,垂足分别为E、F

【1】请探索BE、DF、EF这三条线段长度具有怎样的数量关系，若点P在DC延长线上，那么这3条线段的长度之间又具有怎样的关系？若点P在CD延长线上呢？请分别写出结论
【2】请在【1】中的三个结论中选择一个注明

Answer 1

如图，可以证明，三角形ABE和三角形DAF全等

因此 BE=AF   AE=DF 

所以 BE=DF+EF

 若P在DC的延长线上，DF=BE+EF

若P在CD的延长线上，

则 EF=BE+DF

用第三种情况作说明：

设P1在CD的延长线上，BE1⊥PA1、DF1⊥PA1,垂足分别为E1、F1

在Rt三角形ABE1和Rt三角形BAF1中。

AB=AD

<BAE1=90-DAF1=<ADF1

所以。Rt三角形ABE1和Rt三角形BAF1全等

BE1=AF1   E1A=DF1

则BE1+DF1=AF1+E1A=E1F1

Answer 2

如图，可以证明，三角形ABE和三角形DAF全等
因此 BE=AF AE=DF
所以 BE=DF+EF
若P在DC的延长线上，DF=BE+EF
若P在CD的延长线上，
则 EF=BE+DF
用第三种情况作说明：
设P1在CD的延长线上，BE1⊥PA1、DF1⊥PA1,垂足分别为E1、F1
在Rt三角形ABE1和Rt三角形BAF1中。
AB=AD
<BAE1=90-DAF1=<ADF1
所以。Rt三角形ABE1和Rt三角形BAF1全等
BE1=AF1 E1A=DF1
则BE1+DF1=AF1+E1A=E1F1

Answer 3

：（1）在图1中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：BE-DF=EF；
在图2中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：DF-BE=EF；
在图3中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：DF+BE=EF．

（2）对图1中结论证明如下：
∵BE⊥PA，DF⊥PA，
∴∠BEA=∠AFD=90°，
∵四边ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
∴△BAE≌△ADF，
∴BE=AF，AE=DF，
∵AF-AE=EF，
∴BE-DF=EF．

如图，可以证明，三角形ABE和三角形DAF全等
因此 BE=AF AE=DF
所以 BE=DF+EF
若P在DC的延长线上，DF=BE+EF
若P在CD的延长线上，
则 EF=BE+DF
用第三种情况作说明：
设P1在CD的延长线上，BE1⊥PA1、DF1⊥PA1,垂足分别为E1、F1
在Rt三角形ABE1和Rt三角形BAF1中。
AB=AD
<BAE1=90-DAF1=<ADF1
所以。Rt三角形ABE1和Rt三角形BAF1全等
BE1=AF1 E1A=DF1
则BE1+DF1=AF1+E1A=E1F1