Question

求解二阶微分方程的初值问题：yy''=1+(y')^2，y(1)＝1，y'(1)=0

Answer 1

解：设y'=p，则y''=p(dp/dy)
代入原方程得yp(dp/dy)=1+p²
==>pdp/(1+p²)=dy
==>ln(1+p²)=2ln│y│+C (C是积分常数)
∵y(1)＝1，y'(1)=0
∴当x=1时，p=1 ==>C=0
∴ln(1+p²)=2ln│y│
==>1+p²=y²
==>y'=√(y²-1)，或y'=-√(y²-1)
==>dy/√(y²-1)=dx，或dy/√(y²-1)=-dx
==>ln│y+√(y²-1)│=x+C，或ln│y+√(y²-1)│=-x+C （C是积分常数）
∵y(1)＝1
∴C=-1，或C=1
==>y+√(y²-1)=e^(x-1)，或y+√(y²-1)=e^(1-x)
故原方程满足初值的解是y+√(y²-1)=e^(x-1)，或y+√(y²-1)=e^(1-x)。