过原点的直线与圆x^2+y^2-6x+5=0相交于A,B两点,求弦AB的中点M的轨迹方程

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推荐于2017-12-15 · TA获得超过3.2万个赞
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逐行解释吧!
1)原方程化为标准型,(x-3)²+(y-0)²=2² 可知,圆心坐标为 (3,0) 半径为 r=2
2) 圆心与弦中点的连线长正好就是弦心距,弦心距与对应弦垂直,这都是初中平面几何知识;两条直线垂直,则他们的斜率乘积为“-1“(因为他们的斜率互为负倒数)。
3)此时已经默认,设M的坐标为(x,y).。则kcm=(yc-ym)/(xc-xm)=(0-y)/(3-x)=y/(x-3)
kab=(ym-yo)/(xm-xo)=y/x (∵AB过原点)
由 2)知:[y/(x-3)][y/x]=-1
4)原方程 => y²=-x(x-3) => y²=-x²+3x => x²+y²-3x=0 (默认原约束)
5)6)因为分析过程中,关于斜率的约束条件未必适合后来的整式方程,所以要专门讨论(其实很多时候很容易忽略这个过程,若要我做,肯定忽略。多做些题,就会多得些经验)

经过检验,(3,0)适合实情(∵它就是圆心,是某个弦的中点)
(0,0)不适合实情(∵它根本不在圆内)
7)8)9)10)将y²=3x-x²代入另一个方程 x²+3x-x²-6x+5=0 => -3x+5=0 => -3x=-5
(求出的y,只是说明了y的取值范围,意义并不大,方程和x的取值范围定了后,y的取值基本就定了)
11)本来,第4)步就已经求出了要求的方程,5)——10)步,花大力气解决的就是说明题目要求的方程不是一个整圆,而是一个x,y都有一定取值范围的一段圆弧。
另外,为什么x的取值范围是5/3<=x<=3呢?由解题过程可知,x=5/3 , x=3 都是符合题意的,而所求出的方程的x取值范围为 [0,3],[5/3,3]是它的一个子集,这其中也并没有什么不合题意的奇异点,所以取值范围就是它了。
lijiawen_
2011-09-06 · TA获得超过443个赞
知道小有建树答主
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第一行: x²+y²-6x+5=0
(x-3)²+y²=4
所以圆心是(3,0) R=2
第二行:因为M是AB的中点 所以CM⊥AB
两直线垂直 斜率的乘积=-1
第三行:没什么好多的 就是带入斜率 不过注意x-3和x不能为0
第四行:化简 没啥说的
第五行,第六行:画图就能看出来
因为点(0,0)在圆外
所以舍
下面是联立方程
实际是求X的取值范围
点M的轨迹在化简那步就已经求完了
对解法的解释就这些
有什么不会的可以问我
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良驹绝影
2011-09-06 · TA获得超过13.6万个赞
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设此中点是M(x,y),则:
AB⊥MC【C是已知圆的圆心】,则:
点M的轨迹是以原点O和已知圆的圆心C的连线为直径的圆【轨迹在已知圆内】
已知圆是:(x-3)²+y²=4
点M的轨迹方程是[x-(3/2)]²+y²=9/4 【轨迹在已知圆内】
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