Question

过原点的直线与圆x^2+y^2-6x+5=0相交于A,B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程

请数学达人高手帮我逐步解析一下谢谢。

Answer 1

逐行解释吧！
1）原方程化为标准型，（x-3)²+(y-0)²=2² 可知，圆心坐标为 （3,0） 半径为 r=2
2) 圆心与弦中点的连线长正好就是弦心距，弦心距与对应弦垂直，这都是初中平面几何知识；两条直线垂直，则他们的斜率乘积为“-1“（因为他们的斜率互为负倒数）。
3）此时已经默认，设M的坐标为（x,y).。则kcm=(yc-ym)/(xc-xm)=(0-y)/(3-x)=y/(x-3)
kab=(ym-yo)/(xm-xo)=y/x (∵AB过原点）
由 2）知：[y/(x-3)][y/x]=-1
4)原方程 => y²=-x(x-3) => y²=-x²+3x => x²+y²-3x=0 (默认原约束）
5）6）因为分析过程中，关于斜率的约束条件未必适合后来的整式方程，所以要专门讨论（其实很多时候很容易忽略这个过程，若要我做，肯定忽略。多做些题，就会多得些经验）

经过检验，（3,0）适合实情（∵它就是圆心，是某个弦的中点）
（0,0）不适合实情（∵它根本不在圆内）
7）8）9）10）将y²=3x-x²代入另一个方程 x²+3x-x²-6x+5=0 => -3x+5=0 => -3x=-5
(求出的y，只是说明了y的取值范围，意义并不大，方程和x的取值范围定了后，y的取值基本就定了）
11）本来，第4）步就已经求出了要求的方程，5）——10）步，花大力气解决的就是说明题目要求的方程不是一个整圆，而是一个x，y都有一定取值范围的一段圆弧。
另外，为什么x的取值范围是5/3<=x<=3呢？由解题过程可知，x=5/3 ， x=3 都是符合题意的，而所求出的方程的x取值范围为 [0,3]，[5/3，3]是它的一个子集，这其中也并没有什么不合题意的奇异点，所以取值范围就是它了。

Answer 2

第一行： x²+y²-6x+5=0
(x-3)²+y²=4
所以圆心是(3,0) R=2
第二行：因为M是AB的中点 所以CM⊥AB
两直线垂直 斜率的乘积=-1
第三行：没什么好多的 就是带入斜率 不过注意x-3和x不能为0
第四行：化简 没啥说的
第五行，第六行：画图就能看出来
因为点(0,0)在圆外
所以舍
下面是联立方程
实际是求X的取值范围
点M的轨迹在化简那步就已经求完了
对解法的解释就这些
有什么不会的可以问我

Answer 3

设此中点是M(x，y)，则：
AB⊥MC【C是已知圆的圆心】，则：
点M的轨迹是以原点O和已知圆的圆心C的连线为直径的圆【轨迹在已知圆内】
已知圆是：(x－3)²＋y²=4
点M的轨迹方程是[x－(3/2)]²＋y²=9/4 【轨迹在已知圆内】